Cùng congthuctoanlyhoa khám phá Lý thuyết về Tập hợp chi tiết, đầy đủ nhất 2023. Bài viết cung cấp cho các em cái nhìn sâu sắc về định nghĩa về tập hợp, các tập hợp số, cách xác định tập hợp, tập con và hai tập hợp bằng nhau, một số tập con của tập hợp số thực. Bài viết này sẽ hỗ trợ cho các em trong việc học tốt môn Toán lớp 10.
1. Nhắc lại về tập hợp
– Trong toán học, người ta dùng từ tập hợp để chỉ một nhóm đối tượng nào đó hoàn toàn xác định. Mỗi đối tượng trong nhóm gọi là một phần tử của tập hợp đó.
– Người ta thường kí hiệu tập hợp bằng các chữ cái in hoa A, B, C, … và kí hiệu phần tử của tập hợp bằng các chữ cái in thường a, b, c, ….
– Chú ý: Đôi khi, để ngắn gọn, người ta dùng từ “tập” thay cho “tập hợp”.
+ a là một phần tử của tập hợp A ta viết (đọc là a thuộc A).
a không là một phần tử của tập hợp A ta viết a: (đọc là a không thuộc A).
+ Số phần tử của tập hợp A kí hiệu là
+ Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu , .
Ví dụ:
+ Để chỉ 5 là phần tử của tập số tự nhiên ℕ, ta viết 5 ∈ ℕ.
+ Để chỉ –1 không là phần tử của tập số tự nhiên ℕ, ta viết –1 ∉ ℕ.
Các tập hợp số
– Tập hợp các số tự nhiên (Kí hiệu
– Tập hợp các số nguyên
– Tập hợp các số hữu tỉ
(Gồm các số nguyên và các số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn)
– Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.
(Số vô tỉ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn).
Cách xác định tập hợp
Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp;
Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
Chú ý:
+ Các phần tử có thể được viết theo thứ tự tùy ý.
Chẳng hạn, để viết tập hợp A các nghiệm của phương trình x.(x – 1) = 0, ta có thể viết A = {0; 1} hoặc A = {1; 0}.
+ Mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần.
Chẳng hạn, nếu kí hiệu B là tập hợp các chữ cái tiếng Anh trong từ “mathematics” thì B = {m; a; t; g; e; i; c; s}.
+ Nếu quy tắc xác định các phần tử đủ rõ thì người ta dùng “…” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.
Chẳng hạn, tập hợp các số tự nhiên không quá 100 có thể viết là {0; 1; 2; …; 100}.
– Có những tập hợp ta có thể đếm hết các phần tử của chúng. Những tập hợp như vậy được gọi là tập hợp hữu hạn.
Ví dụ:
Cho tập hợp D các số tự nhiên chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nhưng nhỏ hơn 10. Mô tả tập hợp D theo hai cách:
Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp: D = {6; 9}.
Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phẩn tử: D = {n ∈ ℕ | n ⋮ 3, 3 < n < 10}.
Tập con và hai tập hợp bằng nhau
Tập hợp con
- Cho hai tập hợp A và B.
+ A là tập hợp con của B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B.
Kí hiệu: (A chứa trong B) hoặc (B chứa A)
Số tập hợp con của tập A có n phần tử là: 
+ A không là tập con của B, kí hiệu:
Quy ước: và với mọi tập hợp A.
+ Biểu đồ Ven: Trong toán học, người ta thường minh họa một tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường cong kín, gọi là biểu đồ Ven.
Giữa các tập hợp số quen thuộc (tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỉ, tập số thực), ta có quan hệ bao hàm: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Ví dụ:Cho tập hợp T = {2; 3; 5}; S = {2; 3; 5; 7; 9}; M = {2; 3; 4; 5}.
+ Tập hợp T là tập con của tập hợp S vì tất cả phần tử của T đều có trong tập hợp S.
Ta kí hiệu T ⊂ S.
+ Tập hợp M không là tập hợp con của tập hợp S vì tập M có phần tử 4 không thuộc tập hợp S.
Ta kí hiệu M ⊄ S.
Hai tập hợp bằng nhau
nếu và
– Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B, nếu A ⊂ B và B ⊂ A.
Nói cách khác, hai tập hợp A và B bằng nhau nếu mỗi phần tử của tập hợp này cũng là phần tử của tập hợp kia và ngược lại.
Ví dụ:
Cho 2 tập hợp: T = {n ∈ ℕ | n ⋮ 9, 7 < n < 14} và S = {n ∈ ℕ | n ⋮ 3, 8 < n < 10}.
Tìm các phần tử của T và S ta có T = {9} và S = {9} nên T = S.
Một số tập con của tập hợp số thực
Ta thường sử dụng các tập con của tập số thực sau đây (a và b là các số thực, a < b):
Trong các kí hiệu trên, kí hiệu –∞ đọc là âm vô cực (âm vô cùng), kí hiệu +∞ đọc là dương vô cực (dương vô cùng).