Cùng congthuctoanlyhoa khám phá Lý thuyết và Bài tập về Mệnh đề chi tiết, đầy đủ nhất 2023. Bài viết cung cấp cho các em cái nhìn sâu sắc về định nghĩa về mệnh đề, mệnh đề chứa biến, mệnh đề phủ định, mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương và mệnh đề chứa kí hiệu ∀ và ∃. Bài viết này sẽ hỗ trợ cho các em trong việc học tốt môn Toán lớp 10.
Lý thuyết Mệnh đề
1. Mệnh đề
– Những khẳng định có tính hoặc đúng hoặc sai được gọi là mệnh đề logic (hay mệnh đề).
– Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai.
• Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng.
• Một khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.
• Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Chú ý:
+ Người ta thường sử dùng các chữ cái in hoa P, Q, R, … để kí hiệu các mệnh đề.
+ Những mệnh đề liên quan đến toán học được gọi là mệnh đề toán học.
Ví dụ:
- “Số tự nhiên nhỏ nhất là số 0” là một mệnh đề.
- “Số 4 là số chẵn” là mệnh đề đúng.
- “Số 4 là số lẻ” là mệnh đề sai.
- “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề nhưng không phải mệnh đề toán học vì không liên quan đến toán học.
- “Số là một số hữu tỉ” là mệnh đề toán học.
Mệnh đề chứa biến
– Mệnh đề chứa biến là mệnh đề chưa khẳng định được tính đúng sai, cần có giá trị cụ thể của biến mới có thể khẳng định tính đúng sai của mệnh đề đó.
– Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n).
– Một mệnh đề chứa biến có thể chứa một biến hoặc nhiều biến.
Ví dụ:
Câu “Số nguyên chia hết cho ” không phải là mệnh đề, vì không thể xác định được nó đúng hay sai.
– Nếu ta gán cho giá trị thì ta có thể có một mệnh đề sai.
– Nếu gán cho giá trị thì ta có một mệnh đề đúng.
Mệnh đề phủ định
– Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu là 
– Mệnh đề P và mệnh đề phủ định của nó có tính đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là khi P đúng thì sai, khi P sai thì đúng.
Nhận xét:
+ Thông thường để phủ định một mệnh đề, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.
Ví dụ:
Cho mệnh đề A: “6 là số nguyên tố”.
=> Đây là mệnh đề đúng.
Mệnh đề phủ định: “6 không là số nguyên tố”
=> Đây là mệnh đề sai.
Mệnh đề kéo theo
– Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu là P ⇒ Q.
– Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Nhận xét:
+ Mệnh đề P ⇒ Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”.
+ Để xét tính đúng sai của mệnh đề P ⇒ Q, ta chỉ cần xét trường hợp P đúng.
Khi đó, nếu Q đúng thì mệnh đề đúng, nếu Q sai thì mệnh đề sai. Ta đã quen với điều này khi chứng minh nhiều định lí ở Trung học cơ sở.
Ví dụ:
Cho hai mệnh đề :”3 chia hết cho 2″ và :”4 là số chẵn”
Khi đó phát biểu là: “Nếu 3 chia hết cho 2 thì 4 là số chẵn”
Đây là mệnh đề đúng vì sai, đúng. (Mệnh đề sai nhưng không ảnh hướng đến tính đúng của mệnh đề nên mệnh đề kéo theo vẫn đúng).
Mệnh đề đảo
– Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.
Chú ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.
Hai mệnh đề tương đương
Nếu là một mệnh đề đúng và mệnh đề cũng là một mệnh đề đúng thì ta nói tương đương với , kí hiệu:
Khi , ta cũng nói là điều kiện cần và đủ để có hoặc khi và chỉ khi hay nếu và chỉ nếu .
Ví dụ:
Cho hai mệnh đề: P: “n = 0”; Q: “n là số nguyên”.
Mệnh đề P ⇒ Q là “Nếu n = 0 thì n là số nguyên”.
Mệnh đề Q ⇒ P là: “Nếu n là số nguyên thì n = 0”.
+ Mệnh đề Q ⇒ P: “Nếu n là số nguyên thì n = 0” là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu n = 0 thì n là số nguyên”.
+ Mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng còn mệnh đề Q Þ P không đúng.
– Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu là P ⇔ Q (đọc là “P tương đương Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”).
– Khi đó ta cũng nói P là điều kiện cần và đủ để có Q (hay Q là điều kiện cần và đủ để có P).
Nhận xét: Hai mệnh đề P và Q tương đương khi chúng cùng đúng hoặc cùng sai.
Mệnh đề chứa kí hiệu ∀ và ∃
– Kí hiệu ∀ đọc là “với mọi”.
– Kí hiệu ∃ đọc là “tồn tại”.
– Mệnh đề “∀x ∈ M, P(x)” đúng nếu với mọi x0 ∈ M, P(x0) là mệnh đề đúng.
– Mệnh đề “∃x ∈ M, P(x)” đúng nếu có x0 ∈ M sao cho P(x0) là mệnh đề đúng.
Ví dụ:
+ Phát biểu “Với mọi số tự nhiên n” có thể kí hiệu là ∀n ∈ ℕ.
+ Phát biểu “Tồn tại số tự nhiên n” có thể kí hiệu là ∃n ∈ ℕ.
+ Với mọi x là số tự nhiên, mệnh đề “x + 1 > 0” là mệnh đề đúng.
Vậy mệnh đề “∀n ∈ ℕ, x + 1 > 0” là mệnh đề đúng.
+ Tồn tại số thực x, mệnh đề “x2 ≤ 0” là mệnh đề đúng. Chẳng hạn x = 0.
Vậy mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x2 ≤ 0” là mệnh đề đúng.
Bài tập Mệnh đề
Câu 1. Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề sau và xét tính đúng sai mệnh đề đảo.
a) Nếu một số chia hết cho 6 thì số đó chia hết cho 3
b) Nếu hình thoi ABCD thì hai đường chéo vuông góc với nhau
c) Nếu một số chia hết cho 2 thì số đó là số chẵn
d) Nếu AB=BC=CA thì ABC là tam giác đều
Câu 2. Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”
a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại.
b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại.
Câu 3. Cho tam giác ABC và tứ giác giác ABCD. Phát biểu một điều kiện cần và đủ để:
a) ABC là tam giác đều
b) ABCD là một hình chữ nhật
Câu 4. Dùng kí hiệu ∀ và ∃ để viết các mệnh đề sau:
a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó.
b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chình nó
c) Có một số hữu tỷ nhỏ hơn nghịch đảo của nó
d) Mọi số tư nhiên đều lớn hơn số đối của nó
Vậy là các em đã tìm hiểu xong bài học về Lý thuyết và Bài tập về Mệnh đề. Mong các em sẽ học ngày càng tốt hơn nữa môn Toán lớp 10.