[Toán 9] Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác kèm cách giải bài tập

Đường tròn ngoại tiếp và Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là bài học quan trọng trong chương trình Toán học lớp 9, phân môn Hình học. Hôm nay, ta sẽ cùng đi qua các định nghĩa, kiến thức và lý thuyết của nội dung này nhé!

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác (ta còn nói: tam giác nội tiếp đường tròn)

Khi đó, nối tâm O của đường tròn với ba đỉnh của tam giác ABC ta có: OA = OB = OC là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Khi đó, nối tâm O của đường tròn với ba đỉnh của tam giác ABC ta có: OA = OB = OC là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tính chất đường tròn ngoại tiếp

• Mỗi tam giác có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp
• Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

• Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

• Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác trùng nhau.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Giao của 3 đường trung trực trong tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp (hoặc có thể là 2 đường trung trực).

Xem thêm: [Toán 9] Hình trụ là gì? Diện tích xung quanh và Thể tích hình trụ

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Trong chương trình Hình học 9, công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng tích của 3 cạnh tam giác chia bốn lần diện tích:

Công thức tính bán kính đường tròn ngọai tiếp của góc A

Công thức tính bán kính đường tròn ngọai tiếp của góc B

Công thức tính bán kính đường tròn ngọi tiếp của góc C

Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Có 2 cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:

• Cách 1
  • Bước 1: Gọi I(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có IA=IB=IC=R
  • Bước 2: Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình

• Cách 2:
  • Bước 1: Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.
  • Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường trung trực này, đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Như vậy Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A nằm trên đường cao AH.

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền

Phương trình đường tròn ngoại tiếp 

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh.

Để giải được bài toán viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ta thực hiện theo 4 bước sau:

• Bước 1: Thay tọa độ mỗi đỉnh vào phương trình với ẩn a,b,c (Bởi các đỉnh thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên tọa độ các đỉnh thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp cần tìm)
• Bước 2: Giải hệ phương trình tìm a,b,c
• Bước 3: Thay giá trị a,b,c tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu => phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
• Bước 4: Do A,B,C ∈ C nên ta có hệ phương trình:

⇒ Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c.

Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình (C) ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp

Cho tam giác ABC

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB. S là diện tích tam giác ABC.

Ta có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác

Dạng 1: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biết A(-1;2) B(6;1) C(-2;5)

Cách giải:

Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:

(C): x²+y² – 2ax – 2by + c = 0

Do A, B, C cùng thuộc đường tròn nên thay tọa độ A, B, C lần lượt vào phương trình đường tròn (C) ta được hệ phương trình:

Do đó, Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tâm I (3;5) bán kính R = 5 là:

hoặc

Dạng 2: Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh

Ví dụ: Cho tam giác ABC với A(1;2), B(-1;0), C(3;2). Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Cách giải

Gọi I(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vì I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có:

Vậy tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(2;-1).

Dạng 3: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp

Ví dụ: Tam giác ABC có cạnh AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Cách giải

Xem thêm: [Toán 9] Công thức diện tích xung quanh hình nón chuẩn SGK

Bài tập tâm đường tròn ngoại tiếp 

Bài 1: Các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác góc vuông) và cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại I và K.

a, Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

b, Chứng minh tam giác CIK là tam giác cân

Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Ba đường của tam giác là AF, BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH (H thuộc BC). Lấy điểm D sao cho H là trung điểm của BD. Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ C xuống đường thẳng AD. Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp và xác định vị trí tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AQ, BE, CF cắt nhau tại một điểm.

a/ Chứng minh rằng tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp, xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

b/ Cho bán kính đường tròn tâm I là 2cm góc BAC = 50⁰. Tính độ dài cung EHF của đường tròn tâm I và diện tích hình quạt tròn IEHF.

Tổng kết

Bài viết về đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến đây là kết thúc. Công Thức Toán Lý Hóa hy vọng các bạn đã hiểu được kiến thức này và áp dụng nó thật tốt để học tập và đạt điểm cao trong các kỳ thi tới.