Công Thức Toán Lý Hóa
  • Trang Chủ
  • Công thức Toán học
    • Công thức Toán lớp 8
      • Đại số lớp 8
      • Hình học lớp 8
    • Công thức Toán lớp 9
      • Đại số lớp 9
      • Hình học lớp 9
    • Công thức Toán lớp 10
      • Đại số lớp 10
      • Hình học lớp 10
    • Công thức Toán Lớp 11
      • Đại số lớp 11
      • Hình học lớp 11
    • Công thức Toán Lớp 12
      • Đại số lớp 12
      • Hình học lớp 12
  • Công thức Vật Lý
    • Công thức Vật Lý 8
    • Công thức Vật Lý 9
    • Công thức Vật Lý 10
    • Công thức Vật Lý 11
    • Công thức Vật Lý 12
  • Công thức Hóa học
    • Công thức Hóa học 8
    • Công thức Hóa học 9
    • Công thức Hóa học 10
    • Công thức Hóa học 11
    • Công thức Hóa học 12
  • Ngữ Văn
    • Ngữ Văn lớp 9
    • Ngữ Văn Lớp 10
    • Ngữ Văn Lớp 11
    • Ngữ Văn Lớp 12
Công Thức Toán Lý Hóa
  • Trang Chủ
  • Công thức Toán học
    • Công thức Toán lớp 8
      • Đại số lớp 8
      • Hình học lớp 8
    • Công thức Toán lớp 9
      • Đại số lớp 9
      • Hình học lớp 9
    • Công thức Toán lớp 10
      • Đại số lớp 10
      • Hình học lớp 10
    • Công thức Toán Lớp 11
      • Đại số lớp 11
      • Hình học lớp 11
    • Công thức Toán Lớp 12
      • Đại số lớp 12
      • Hình học lớp 12
  • Công thức Vật Lý
    • Công thức Vật Lý 8
    • Công thức Vật Lý 9
    • Công thức Vật Lý 10
    • Công thức Vật Lý 11
    • Công thức Vật Lý 12
  • Công thức Hóa học
    • Công thức Hóa học 8
    • Công thức Hóa học 9
    • Công thức Hóa học 10
    • Công thức Hóa học 11
    • Công thức Hóa học 12
  • Ngữ Văn
    • Ngữ Văn lớp 9
    • Ngữ Văn Lớp 10
    • Ngữ Văn Lớp 11
    • Ngữ Văn Lớp 12
Công Thức Toán Lý Hóa
Trang Chủ Công thức Toán học Công thức Toán Lớp 11 Đại số lớp 11

[Toán 11] Nhị thức Newton – ĐỦ BỘ lý thuyết và cách giải CỰC CHUẨN

Vi Tường Bởi Vi Tường
Tháng Tám 10, 2022
Trong Đại số lớp 11, Công thức Toán học, Công thức Toán Lớp 11
0
nhị thức Newton
0
Chia Sẻ
115
Lượt Xem
Share on FacebookShare on Twitter

Nhị thức Newton trong chương trình Toán 11 có thể nói là một nội dung khá khó để có thể ghi nhớ. Tuy nhiên, dưới đây là tổng hợp đủ bộ lý thuyết về nhị thức Newton và cách giải cực chuẩn, cùng những mẹo ghi nhớ giúp bạn dễ dàng ghi nhớ về công thức cũng như cách giải các dạng toán liên quan đến phần nội dung này.

Bạn đang đọc bài viết: [Toán 11] Nhị thức Newton – ĐỦ BỘ lý thuyết và cách giải CỰC CHUẨN

Mục Lục

  • Lý thuyết nhị thức Newton
    • Công thức nhị thức Newton
    • Tính chất của nhị thức Newton
  • Tam giác Pascal – hệ số của đa thức trong nhị thức Newton
    • Mô hình tam giác Pascal
    • Tính chất của tam giác Pascal
    • Áp dụng tam giác Pascal vào bài toán nhị thức Newton
  • Các dạng toán và bài giải về nhị thức Newton
    • Dạng 1: Tìm hệ số trong khai triển – tìm số hạng trong khai triển
    • Dạng 2: Bài toán tính tổng, chứng minh đẳng thức
    • Dạng 3: Bài toán ứng dụng nhị thức Newton vào các bài toán tổ hợp
  • Tổng kết

Lý thuyết nhị thức Newton

Nhị thức Newton là một công thức triển khai hàm mũ của tổng. Cụ thể là khai triển một nhị thức bậc n ((a + b)n ) thành một đa thức có n+1 số hạng.

Công thức nhị thức Newton

Với a, b là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:

công thức nhị thức Newton

 

Vì vai trò của a và b như nhau nên hoán đổi vị trí a và b ta có công thức tương đương như sau:

công thức nhị thức Newton (2)

 

Các khai triển nhị thức Newton thường gặp: 

cách khai triển nhị thức Newton

Mẹo ghi nhớ: trong mỗi số hạng thì tổng số mũ của a và b luôn bằng n. Và trong mỗi khai triển có n+1 số hạng

Xem thêm kiến thức về: [Toán 10] Bất đẳng thức Cosi – chuẩn kiến thức và bài giải chi tiết

 

Tính chất của nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton

  • Số các số hạng của công thức là n + 1
  • Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức:

( n – k) + k = n

  • Số mũ của a giảm dần từ n đến 0
  • Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n
  • Số hạng tổng quát của nhị thức là:

Tk+1 = Cnk an-k bk ( Đó là số hạng thứ k + 1 trong khai triển ( a + b)n )

  • Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau

Hệ quả nhị thức Newton:

  • Với a=b=1 thì ta có tính chất nhị thức newton

Nghĩa là: tổng các hệ số của các số hạng trong sự khai triển của nhị thức bằng 2n

  • Với a=1, b=-1 thì ta có tính chất nhị thức newton 2

Nghĩa là: tổng tất cả các hệ số đứng ở vị trí chẵn bằng tổng tất cả các hệ số đứng ở vị trí lẻ

Tam giác Pascal – hệ số của đa thức trong nhị thức Newton

Mô hình tam giác Pascal

Để xây dựng tam giác Pascal, trong hàng 0 (hàng trên cùng), có một số 1 duy nhất. Mỗi số của mỗi hàng tiếp theo được xây dựng bằng cách thêm số ở trên và bên trái với số ở trên và sang bên phải, coi các mục trống là 0. Ví dụ: số ban đầu trong hàng đầu tiên (hoặc bất kỳ số nào khác) là 1 (tổng của 0 và 1), trong khi các số 1 và 3 trong hàng thứ ba được thêm vào để tạo ra số 4 ở hàng thứ tư.

mô hình tam giác pascal

Tính chất của tam giác Pascal

  • Mỗi số là tổng của hai số trên nó.
  • Các số bên ngoài đều là 1.
  • Tam giác là đối xứng.
  • Đường chéo đầu tiên hiển thị số đếm.
  • Tổng của các hàng có lũy thừa là 2.
  • Mỗi hàng cho các chữ số của lũy thừa là 11.
  • Mỗi mục nhập là một “chọn số” thích hợp.
  • Và đó là “hệ số nhị thức.”

Áp dụng tam giác Pascal vào bài toán nhị thức Newton

Tam giác Pascal xác định các hệ số xuất hiện trong khai triển nhị thức . Nghĩa là hàng thứ n của tam giác Pascal bao gồm các hệ số của biểu thức khai triển của đa thức (x + y) n .

Khai triển của (x + y) n  là:

(x + y) n  = a 0 x n  + a 1 x n-1 y + a 2 x n-2 y 2  +… + a n-1 xy n-1  + a n y n

trong đó các hệ số dạng a k chính xác là các số trong hàng thứ n của tam giác Pascal.

Ví dụ:

Khai triển biểu thức (x + y) n  với n = 3.

(x + y) 3  = 3C 0 x 3  + 3C 1  x 2 y + 3C 2  xy 2  + 3C 3  x 0 y 3

= (1) x 3  + (3) x 2 y + (3) xy 2  + (1) y 3

Ở đây, các hệ số 1, 3, 3, 1 đại diện cho các phần tử ở hàng thứ 3 của tam giác pascal.

Các dạng toán và bài giải về nhị thức Newton

Trong chương trình Đại số 11 thì có các dạng bài tập về nhị thức Newton như sau:

Dạng 1: Tìm hệ số trong khai triển – tìm số hạng trong khai triển

1. Đối với dạng tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton, ta tiến hành như sau:

Bước 1: Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Bước 2: Tìm số hạng có chứa xk và tìm hệ số tương ứng

Ví dụ: Tìm hệ số của x3 trong khai triển ( 2 + x)5

Giải:

Ta có

bài tập nhị thức Newton (3)

Cho k = 3 ta được hệ số của x3 là: C35. 25-3 = 40

2. Đối với dạng tìm số hạng trong khai triển nhị thức Newton, ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng tổng quát:

khai triển nhị thức Newton để giải toán

Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau

Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa: np – pk + qk = m

Từ đó tìm: k = ( m – np) / ( p – q)

Vậy hệ số của số hạng chứa xm là: Cnk an-k bk với giá trị k đã tìm được ở trên

Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa xm, hệ số phải tìm bằng 0

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển

P(x) = ( a + bxp + cxq)n được viết dưới dạng a0 + a1x + …+ a2nx2n 

Ta làm như sau:

  • Viết P (x) = ( a + bxp + cxq)n

bài tập nhị thức Newton

  • Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bxp + cxq
  • Thành một đa thức theo lũy thừa của x
  • Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của xm

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton

Ta làm như sau:

  • Tính hệ số ak theo k và n
  • Giải bất phương trình sau với ẩn số k

bài tập nhị thức Newton (2)

  • Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên

Ví dụ: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển ( 2 – 3x)25

Giải:     Số hạng thứ 21 trong khai triển là:

          C2025. 25 ( -3x)20 = 25. 320. C2025. X20

Dạng 2: Bài toán tính tổng, chứng minh đẳng thức

Đối với dạng bài toán tỉnh tổng, chứng minh đẳng thức như này, ta tuần tự tiến hành như sau:

Bước 1: Sử dụng khai triển:

(a + b)n = C0n an + C1n an-1b + C2n an-2b2 + …+ Cn-1 n abn-1 + Cnn bn

Bước 2: Suy ra điều phải chứng minh

Bằng cách thay a, b, n bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng thức.

Dạng 3: Bài toán ứng dụng nhị thức Newton vào các bài toán tổ hợp

Với dạng toán này, ta tiến hành theo các bước:

Bước 1: Chọ một khai triển ( a+ x)n phù hợp, ở đây a là hằng số

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phân

Bước 3: Dựa vào điều kiện bài toán, thay x bởi một giá trị cụ thể

Tổng kết

Hi vọng thông qua bài tổng hợp kiến thức này , các bạn đã có thể nắm được kiến thức lý thuyết về nhị thức Newton, cũng như các mẹo ghi nhớ, các cách giải đối với từng dạng toán khác nhau. Cùng xem thêm các bài tổng hợp kiến thức bổ ích khác ngay tại congthuctoanlyhoa.com .

Tags: các dạng nhị thức newtonchứng minh đẳng thứccông thức nhị thức newtonkhai triển newtonkhai triển nhị thức newtonnhị thứcnhị thức Newtontam giác pascaltìm hệ số khai triểntìm số hạng trong khai triển
Vi Tường

Vi Tường

Liên QuanBài Viết

7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Đại số lớp 8

[Toán 8] Cách học 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, hệ quả và các dạng bài DỄ NHỚ

Tháng Tám 10, 2022
[Toán 8] Cách nhân đa thức với đa thức kèm bài giải chi tiết, dễ hiểu
Đại số lớp 8

[Toán 8] Cách nhân đa thức với đa thức kèm bài giải chi tiết, dễ hiểu

Tháng Tám 10, 2022
nhân đơn thức với đa thức
Đại số lớp 8

[Toán 8] Nhân đơn thức với đa thức kèm giải bài tập chuẩn SGK Bộ GD

Tháng Tám 10, 2022
Bài Viết Tiếp Theo
[Toán 11] Phương trình lượng giác cơ bản và các dạng thường gặp

[Toán 11] Phương trình lượng giác cơ bản và các dạng thường gặp

khối đa diện

[Toán 12] Thế nào là khối đa diện? Tổng hợp ví dụ và tính chất

[Toán 11] Ôn tập cấp số cộng và cấp số nhân dễ hiểu

[Toán 11] Ôn tập cấp số cộng và cấp số nhân dễ hiểu

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Chuyên mục Hot

  • Công thức Hóa học
  • Công thức Hóa học 10
  • Công thức Hóa học 11
  • Công thức Hóa học 12
  • Công thức Hóa học 8
  • Công thức Hóa học 9
  • Công thức Toán học
  • Công thức Toán lớp 10
  • Công thức Toán Lớp 11
  • Công thức Toán Lớp 12
  • Công thức Toán lớp 8
  • Công thức Toán lớp 9
  • Công thức Vật Lý
  • Công thức Vật Lý 10
  • Công thức Vật Lý 11
  • Công thức Vật Lý 12
  • Công thức Vật Lý 8
  • Công thức Vật Lý 9
  • Đại số lớp 10
  • Đại số lớp 11
  • Đại số lớp 12
  • Đại số lớp 8
  • Đại số lớp 9
  • Hình học lớp 10
  • Hình học lớp 11
  • Hình học lớp 12
  • Hình học lớp 8
  • Hình học lớp 9
  • Ngữ Văn
  • Ngữ Văn Lớp 10
  • Ngữ Văn Lớp 11
  • Ngữ Văn Lớp 12
  • Ngữ văn lớp 8
  • Ngữ Văn lớp 9

CLICK ẢNH bên dưới ủng hộ Team bạn nhé

Công Thức Toán Lý Hóa

Website chuyên cung cấp các kiến thức Toán Lý Hóa Văn Anh từ các cấp bậc Tiểu học, THCS, THPT, Đại học

Congthuctoanlyhoa.com là một website con trong hệ sinh thái website Review của Leo Agency

Liên hệ booking: 0708777767 Mr.Minh

HỆ SINH THÁI REVIEW
  • Nghề Content
  • Chuyên Giá Sỉ
  • Blog Phần Mềm
  • Khóa học Marketing
  • Nổi Bật
  • Bình Luận
  • Mới Nhất
Động năng thế năng cơ năng

[Vật lý 10] Động năng – Thế năng – Cơ năng là gì?

Tháng Tám 10, 2022
[Toán 10] Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

[Toán 10] Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Tháng Tám 10, 2022
soạn bài Chiếc lược ngà

[Ngữ văn 9] Soạn bài Chiếc lược ngà đầy đủ, hay nhất

Tháng Tám 10, 2022
[ TOÁN 9 ] Căn bậc 2 là gì? Công thức tính căn bậc 2 chuẩn bộ giáo dục

[ TOÁN 9 ] Căn bậc 2 là gì? Công thức tính căn bậc 2 chuẩn bộ giáo dục

Tháng Tám 10, 2022
phân tích cảnh ngày xuân - congthuctoanlyhoa.com

[Ngữ Văn 9] Top 3 bài mẫu phân tích Cảnh ngày xuân – Truyện Kiều kèm Dàn ý chi tiết hay nhất 2022

0
hàm số bậc nhất là gì

[Toán 9]Hàm số bậc nhất là gì? Lý thuyết và cách tính hàm số bậc nhất

0
[ TOÁN 9 ] Căn bậc 2 là gì? Công thức tính căn bậc 2 chuẩn bộ giáo dục

[ TOÁN 9 ] Căn bậc 2 là gì? Công thức tính căn bậc 2 chuẩn bộ giáo dục

0
Hình trụ là gì

[Toán 9] Hình trụ là gì? Diện tích xung quanh và Thể tích hình trụ

0
phân tích cảnh ngày xuân - congthuctoanlyhoa.com

[Ngữ Văn 9] Top 3 bài mẫu phân tích Cảnh ngày xuân – Truyện Kiều kèm Dàn ý chi tiết hay nhất 2022

Tháng Tám 22, 2022
soạn bài Truyện Kiều ngắn nhất - congthuctoanlyhoa.com

[Ngữ Văn 9] Soạn bài Truyện Kiều ngắn nhất, đầy đủ chuẩn Bộ GD

Tháng Tám 17, 2022
soạn bài truyện kiều - congthuctoanlyhoa.com

[Ngữ Văn 9] Soạn bài Truyện Kiều chi tiết nhất theo SGK

Tháng Tám 17, 2022
đọc hiểu Thái sư Trần Thủ Độ

[Ngữ văn 10] Đọc hiểu tác phẩm Thái sư Trần Thủ Độ – tác giả Ngô Sĩ Liên ngắn dễ hiểu nhất

Tháng Tám 16, 2022
  • Home

© 2021 Bản quyền thuộc về Bảng Xếp Hạng . com