[Toán 11] Quy tắc đếm. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp hiệu quả

Quy tắc đếm là gì? Có những quy tắc đếm và phương pháp nào trong Toán học lớp 11, hãy cùng congthuctoanlyhoa  tìm hiểu trong bài viết hôm nay nhé!

Quy tắc cộng

Đây là quy tắc đầu tiên mà chúng ta sẽ cùng làm quen trong bài về quy tắc đếm.

Định nghĩa

Có k phương án A₁, A₂, A₃,… A_k    để thực hiện một công việc.

Trong đó:

– Có n₁ cách thực hiện phương án A_1. 

– Có n2 cách thực hiên phương án A2

….

– Có n_k  cách thực hiện phương án A_k 

Khi đó, số cách để thực hiện công việc sẽ là: ${\mathrm{n1}}^{}+{\mathrm{n2}}^{}+...+{\mathrm{nk}}_{\mathrm{cách}}$

Lưu ý, cách thực hiện mỗi phương án khác nhau hoàn toàn.

Công thức quy tắc cộng

Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số thì số phần tử của $A$bằng tổng số phần tử của  và của , tức là:

$\left|A\cup B\right|=\left|A\right|+\left|B\right|$

Ví dụ: Đi từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, máy bay. Biết có 20 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa và 7 chuyến máy bay có thể vào được TP. Hồ Chí Minh. Vậy có bao nhiêu cách để đi vào TP. Hồ Chí Minh từ Hà Nội?

Với dạng bài này, ta nhanh chóng có thể áp dụng quy tắc cộng như sau:

Có $3$ phương án đi từ Hà Nội vào TP. Hồ Chí Minh là: ô tô, tàu hỏa, máy bay.

– Có 20 cách đi bằng ô tô (vì có 20 chuyến).

– Có 5 cách đi bằng tàu hỏa (vì có 5 chuyến).

– Có 7 cách đi bằng máy bay (vì có 7 chuyến).

Như vậy có tổng cộng 20 + 5 + 7 = 32 cách đi từ Hà Nội và TP.HCM.

Quy tắc nhân

Định nghĩa

Có k công đoạn A₁, A2, … A_k  để thực hiện công việc.

– Có n₁ cách thực hiện công đoạn A_1. 

– Có n2 cách thực hiên công đoạn A2

….

– Có n_k  cách thực hiện công đoạn A_k

Khi đó, số cách để thực hiện công việc là: n₁ .  n2 …. n_k  cách.

Ví dụ:

Trong một lớp học có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn 2 học sinh; 1 nam và 1 nữ tham gia đội cờ đỏ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn?

Ta có 20 cách chọn bạn học sinh nam và 24 cách chọn bạn học nữ.

Vậy áp dụng quy tắc nhân 20×24= 480 cách chọn hai bạn (1 nam 1 nữ) tham gia đội cờ đỏ.

Công thức quy tắc nhân

Từ định nghĩa của quy tắc cộng và quy tắc nhân trên, ta thấy rằng:
+  Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta không thể hoàn thành được công việc (không có kết quả) thì lúc đó ta cần phải sử dụng quy tắc nhân.
+  Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành được công việc (có kết quả) thì lúc đó ta sử dụng quy tắc cộng.
Như vậy, với nhận xét này, ta thấy rõ được sự khác biệt của 2 quy tắc và không thể nhầm lẫn việc dùng quy tắc cộng và quy tắc nhân được.

Lưu ý, quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.  

Tiếp tục bài Quy tắc đếm của Đại số lớp 11, chúng ta sẽ tìm hiểu đến các phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa theo hai quy tắc đã học ở trên.

Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc cộng

Để đếm số cách thực hiện một công việc A bất kỳ theo quy tắc cộng, ta cần phân tích xem công việc A có bao nhiêu phương án thực hiện. Mỗi phương án có bao nhiêu cách chọn?

Phương pháp đếm bài toán tổ hợp dựa vào quy tắc nhân

Để đếm số cách thực hiện một công việc A bất kỳ theo quy tắc nhân, ta cần phân tích xem công việc A được chia làm các giai đoạn A₁, A₂, … Anvà đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn Hi ( i = 1, 2, 3, …, n)

Bài  tập thực hành

Bài 1:

Một lớp học có 22 học sinh nữ và 19 học sinh nam.

a. Có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu về trái đất?

b. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham gia hội trại Thành phố với điều kiện có cả nam và nữ?

Bài 2:

Cho dãy a1, a2, a3, a4, mỗi ai chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1. Hỏi có bao nhiêu dãy như vậy?

Bài 3: 

Trên giá sách có 7 quyển sách Tiếng Anh, 8 quyển sách Toán và 10 quyển sách Tiếng Việt. Các quyển sách này là khác nhau.

a. Có bao nhiêu cách chọn 1 quyển sách?

b. Có bao nhiêu cách chọn 3 quyển sách khác môn học?

c.  Có bao nhiêu cách chọn 2 quyển sách khác môn học?

Tổng kết

Vậy là chúng ta vừa tìm hiểu về quy tắc đếm – một phần kiến thức khá thú vị trong chương trình toán học lớp 11. Hy vọng các bạn đã tiếp thu được bài học một cách trọn vẹn để ứng dụng cho bài tập của mình. Đừng quên theo dõi congthuctoanlyhoa.com để học nhiều bài hữu ích hơn nữa nhé!