[Toán 9] Công thức diện tích xung quanh hình nón chuẩn SGK

Bài viết hôm nay sẽ truyền tải về kiến thức của hai hình học khác nhau: Hình nón và Hình nón cụt. Tuy không khó nhưng các bạn học sinh cần tập trung và luyện tập nhiều để nhuần nhuyễn các công thức dưới đây.

Hình nón là gì?

Khi quay một tam giác vuông AOC vòng quanh cạnh OA, ta được một hình nón. Khi đó:

• Cạnh OC tạo nên đáy của hình nón là một đường tròn tâm O, bán kính OC
• Cạnh AC quét nên một mặt xung quanh của hình nón AC, gọi là đường sinh

Diện tích xung quanh hình nón

Diện tích toàn phần hình nón

Thể tích hình nón

Xem thêm:

[Toán 9] Hình cầu là gì? Diện tích mặt cầu và Thể tích

[Toán 9] Hình trụ là gì? Diện tích xung quanh và Thể tích

Hình nón cụt là gì?

Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với mặt đáy, ta được một hình nón cụt.

Diện tích xung quanh

Thể tích hình nón cụt

So sánh sự khác nhau giữa hình nón và hình nón cụt

Trong Hình Học 9, hai hình này có thể gây nhầm lẫn nhiều nhất vì tên gọi tương tự nhau. Sau đây là bảng so sánh trực quan về sự khác nhau về khái niệm kèm hình ảnh minh hoa. Ngoài ra, các  

Các dạng bài tập

Tìm bán kính, đường sinh, diện tích, thể tích hình nón

Lời giải

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy R và đường sinh là l thì có:

• Diện tích xung quanh: S_xq = πRl
• Diện tích đáy (hình tròn): S_đ = πR²
• Diện tích toàn phần hình tròn: S = S_đ + S_xq = π.r.l+πr²
• Thể tích khối nón:

 

 

Bài tập minh họa hình nón và hình nón cụt

Bài 1: Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Tính đường sinh, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón trên.

Hướng dẫn:

Xét tam giác SOA có: h=SO=3a; r=AO=4a

Diện tích xung quanh hình nón: S_xq = πRl = π.4a.5a = 20πa²

Diện tích toàn phần: S_tp= πRl+πR² = 20πa² + 25πa² = 45πa²

Thể tích của hình nón là:

Bài 2: Cho hình nón có đường sinh l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là 30º. Tính diện tích xung quanh hình nón.

Hướng dẫn: 

Xét tam giác SOA vuông tại O có:

Diện tích xung quanh hình nón:

Bài 3: Một khối nón có thể tích bằng 30π, nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính khối nón đó lên 2 lần thì thể tích của khối nón mới bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

là thể tích của khối nón ban đầu

⇒ Thể tích của khối nón lúc sau là:

Cách xác định thiết diện hình nón

Lời giải 

Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh, thì có các trường hợp sau xảy ra:

• Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân.
• Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh, trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh, thì có các trường hợp sau xảy ra:

• Mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là một đường tròn.
• Mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
• Mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol.

Hình minh họa hypebol

Hình minh họa parabol

Bài tập minh họa

Bài 1: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Hướng dẫn:

Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là tam giác SAB, ∆SAB đều cạnh 2a.

S_xq = πRl = π.a.2a = 2πa²

Bài 2: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a√2. Tính thể tích khối nón.

Hướng dẫn:

Thiết diện thu được khi cắt hình nón bằng mặt phẳng đi qua trục là tam giác SAB

⇒∆SAB vuông cân tại S, có AB = a√2

Thể tích khối nón là:

Bài 3: Một hình nón có đường sinh bằng 3cm và góc ở đỉnh bằng 90°. Cắt hình nón bởi mặt phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy bằng 60°. Tính diện tích thiết diện.

Hướng dẫn:

Dựng hình như hình bên với (α) là (SAC).

• ∆SAB vuông cân tại S

• Kẻ OP ⊥ ACTa có: OP ⊥ AC; SO ⊥ AC ⇒ SP ⊥ ACKhi đó, góc giữa (SAC) và đáy là góc giữa SP và OP⇒ ∠(SPO) = 60ºXét ∆SPO vuông tại O có:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón

Lời giải 

Cho hình nón (H) có bán kính đường tròn đáy là R và độ dài đường sinh là l.

• Diện tích xung quanh hình nón bằng nửa tích số của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh: S_xq = πRl
• Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện đáy: S_tp = πR.l + πR²
• Thể tích khối nón bằng một phần ba tích số diện tích hình tròn đáy và chiều cao:

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S; O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60⁰.Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón lần lượt là?

Hướng dẫn:

Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón.

Theo giải thiết ta có đường sinh SA = a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là

Chọn A.

Bài 2: Một hình nón có đường kính đáy là 2a√3 , góc ở đỉnh là 120⁰. Tính thể tích của khối nón đó theo a.

Hướng dẫn: 

Bài 3: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2πa² . Thể tích khối nón là:

Hướng dẫn:

Tổng kết

Bài viết tại congthuctoanlyhoa.com đã tổng hợp các kiến thức tổng quát nhất kèm theo bài giải chi tiết cho các dạng toán về diện tích hình nón và hình nón cụt. Các bạn học sinh hãy nhớ rèn luyện thật nhiều để có thể thuộc lòng tất cả các công thức quan trọng trên khi làm bài nhé!