[Toán 8] Cách học 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, hệ quả và các dạng bài DỄ NHỚ

Hằng đẳng thức, cụ thể là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là bài quan trọng trong chương trình lớp 8. Bài viết này bao gồm 7 công thức hằng đẳng thức đáng nhớ cùng các dạng bài tập hằng đẳng thức kèm lời giải chi tiết. Mời các bạn xem qua bài viết sau!

Tổng quát 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Bình phương của một tổng

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: 

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Ví dụ:

a) Tính ( a + 3 )².
b) Viết biểu thức x²+ 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.

Hướng dẫn:

a) Ta có: (a + 3)²= a²+ 2.a.3 + 3² = a² + 6a + 9.
b) Ta có x²+ 4x + 4 = x²+ 2.x.2 + 2² = ( x + 2 )².

Bình phương của một hiệu

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Hiệu hai bình phương

a² – b² = (a – b)(a + b)

Lập phương của một tổng

(a + b)³ = A³ + 3a²b + 3ab² + b³

Lập phương của một hiệu

Ví dụ :

a) Tính ( 2x – 1 )³.
b) Viết biểu thức x³– 3x²y + 3xy²– y³ dưới dạng lập phương của một hiệu.

Hướng dẫn:

a) Ta có: ( 2x – 1 )³

= ( 2x )³ – 3.( 2x )².1 + 3( 2x ).1² – 1³

= 8x³ – 12x² + 6x – 1

b) Ta có : x³– 3x²y + 3xy²– y³

= ( x )³ – 3.x².y + 3.x. y² – y³

= ( x – y )³

Tổng hai lập phương

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b² )

Ví dụ:

a) Tính 3³+ 4³.
b) Viết biểu thức ( x + 1 )( x²– x + 1 ) dưới dạng tổng hai lập phương.

Hướng dẫn:

a) Ta có: 3³+ 4³= ( 3 + 4 )( 3² – 3.4 + 4² ) = 7.13 = 91.
b) Ta có: ( x + 1 )( x²– x + 1 ) = x³+ 1³ = x³ + 1.

Hiệu hai lập phương

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Ví dụ:

a) Tính 6³– 4³.
b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x²+ 2xy + 4y²) dưới dạng hiệu hai lập phương

Hướng dẫn:

a) Ta có: 6³– 4³= ( 6 – 4 )( 6² + 6.4 + 4² ) = 2.76 = 152.
b) Ta có : ( x – 2y )( x²+ 2xy + 4y²) = ( x )³ – ( 2y )³ = x³ – 8y³.

Xem thêm: [Toán 8] Cách nhân đa thức với đa thức kèm bài giải chi tiết, dễ hiểu

Hằng đẳng thức mở rộng 

Sau đây là các công thức hằng đẳng thức mở rộng của Đại Số 8

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 2

( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

( a + b – c )²  =  a² + b² + c² + 2ab – 2ac – 2bc

( a – b – c )²  = a² + b² + c² – 2ab – 2ac + 2bc

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 3

a³ + b³ = ( a + b )³ – 3ab( a + b)

a³ – b³ = ( a – b )³ + 3ab( a – b )

( a + b + c )³ = a³ + b³ + c³ + 3( a + b )( a + c )( b + c )

a³ + b³ + c³ – 3abc = ( a + b + c )( a² + b² + c² – ab – bc – ac )

( a – b )³  + ( b – c )³ + ( c – a )³ = 3( a – b )( b – c )( c – a )

( a + b )( b + c )( c + a ) – 8abc = a( b – c )² + b( c – a )² + c( a – b )²

( a + b )( b + c )( c + a ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) – abc

Hằng đẳng thức dạng tổng quát

Các dạng bài tập về hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1: Tính giá trị của các biểu thức.

Dạng 2: Chứng minh biểu thức a mà không phụ thuộc biến.

Dạng 3: Áp dụng để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau.

Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức

Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Dạng 7: Tìm giá trị của x

Bài tập minh họa về hằng đẳng thức

Bài 1 : Với a và b là hai số bất kì, thức hiện phép tính (a + b)(a + b).

Đáp án:

(a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)

= a2 + ab + ba + b2

= a2 + 2ab + b2

Bài 2: Tính [a + (-b)]2 (với a, b là các số tùy ý).

Đáp án:

Ta áp dụng hằng đẳng thức 1 ta có như sau

[a + (-b)]² = a² + 2.a.(-b) + ( -b)² = a² – 2ab + b² .

Bài 3:  Tìm giá trị của x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

Đáp án:

x² (x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x² (x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

Tổng kết

Sau đây là bài viết từ congthuctoanlyhoa.com về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cùng bài tập và lời giải chi tiết. Mong rằng các bạn học sinh có thể nắm vững các kiến thức trên để luyện tập nhuần nhuyễn và vượt qua các kỳ thi trên lớp thật tốt.