Hằng đẳng thức, cụ thể là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là bài quan trọng trong chương trình lớp 8. Bài viết này bao gồm 7 công thức hằng đẳng thức đáng nhớ cùng các dạng bài tập hằng đẳng thức kèm lời giải chi tiết. Mời các bạn xem qua bài viết sau của congthuctoanlyhoa nhé!
Tổng quát 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Bình phương của một tổng
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Ví dụ:
a) Tính ( a + 3 )2.
b) Viết biểu thức x2+ 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.
Hướng dẫn:
a) Ta có: (a + 3)2= a2+ 2.a.3 + 32 = a2 + 6a + 9.
b) Ta có x2+ 4x + 4 = x2+ 2.x.2 + 22 = ( x + 2 )2.
Bình phương của một hiệu
Với hai số bất kỳ ta luôn có: Bình phương một hiệu sẽ bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương số thứ hai.
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Ví dụ: Khai triển các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:
a) ( x – 3 )2 b) ( 2x – 1 )2
Hướng dẫn:
a) ( x – 3 )2 = x2 – 2.x.3 + 32 = x2 – 6x + 9
b) ( 2x – 1 )2 = ( 2x )2 – 2.2x.1 + 12 = 4x2 – 4x + 1
Hiệu hai bình phương
Với hai số bất kỳ ta luôn có hiệu hai bình phương bằng tổng của hai số nhân với hiệu của hai số.
a² – b² = (a – b)(a + b)
Ví dụ: Khai triển các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:
a) x2 – 16 b) x2 – 4y2
Hướng dẫn:
a) x2 – 16 = x2 – 42 = ( x – 4 )( x + 4 )
b) x2 – 4y2 = x2 – ( 2y )2 = ( x – 2y )( x + 2y )
Lập phương của một tổng
Lập phương một tổng của hai số bất kỳ sẽ bằng lập phương số thứ nhất cộng với ba lần bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần bình phương số thứ hai nhân số thứ nhất sau đó cộng với lập phương số thứ ba.
(a + b)³ = A³ + 3a²b + 3ab² + b³
Lập phương của một hiệu
Lập phương một hiệu của hai số bất kỳ sẽ bằng lập phương số thứ nhất trừ đi ba lần bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần bình phương số thứ hai nhân số thứ nhất sau đó trừ đi lập phương số thứ 3.
( a – b )3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Ví dụ :
a) Tính ( 2x – 1 )3.
b) Viết biểu thức x3– 3x2y + 3xy2– y3 dưới dạng lập phương của một hiệu.
Hướng dẫn:
a) Ta có: ( 2x – 1 )3
= ( 2x )3 – 3.( 2x )2.1 + 3( 2x ).12 – 13
= 8x3 – 12x2 + 6x – 1
b) Ta có : x3– 3x2y + 3xy2– y3
= ( x )3 – 3.x2.y + 3.x. y2 – y3
= ( x – y )3
Tổng hai lập phương
Tổng của hai lập phương của hai số bất kỳ sẽ bằng tổng của hai số sau đó nhân với bình phương thiếu của hiệu số thứ nhất và số thứ hai.
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b² )
Ví dụ:
a) Tính 33+ 43.
b) Viết biểu thức ( x + 1 )( x2– x + 1 ) dưới dạng tổng hai lập phương.
Hướng dẫn:
a) Ta có: 33+ 43= ( 3 + 4 )( 32 – 3.4 + 42 ) = 7.13 = 91.
b) Ta có: ( x + 1 )( x2– x + 1 ) = x3+ 13 = x3 + 1.
Hiệu hai lập phương
Hiệu của hai lập phương của hai số bất kỳ sẽ bằng số thứ nhất trừ đi số thứ hai sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai.
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Ví dụ:
a) Tính 63– 43.
b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) dưới dạng hiệu hai lập phương
Hướng dẫn:
a) Ta có: 63– 43= ( 6 – 4 )( 62 + 6.4 + 42 ) = 2.76 = 152.
b) Ta có : ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) = ( x )3 – ( 2y )3 = x3 – 8y3.
Hằng đẳng thức mở rộng
Sau đây là các công thức hằng đẳng thức mở rộng của Đại Số 8
Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 2
( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
( a + b – c )² = a² + b² + c² + 2ab – 2ac – 2bc
( a – b – c )² = a² + b² + c² – 2ab – 2ac + 2bc
Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 3
a³ + b³ = ( a + b )³ – 3ab( a + b)
a³ – b³ = ( a – b )³ + 3ab( a – b )
( a + b + c )³ = a³ + b³ + c³ + 3( a + b )( a + c )( b + c )
a³ + b³ + c³ – 3abc = ( a + b + c )( a² + b² + c² – ab – bc – ac )
( a – b )³ + ( b – c )³ + ( c – a )³ = 3( a – b )( b – c )( c – a )
( a + b )( b + c )( c + a ) – 8abc = a( b – c )² + b( c – a )² + c( a – b )²
( a + b )( b + c )( c + a ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) – abc
Các dạng bài tập về hằng đẳng thức đáng nhớ
Dạng 1: Tính giá trị của các biểu thức.
Dạng 2: Chứng minh biểu thức a mà không phụ thuộc biến.
Dạng 3: Áp dụng để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau.
Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức
Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Dạng 7: Tìm giá trị của x
Bài tập minh họa về hằng đẳng thức
Bài 1 : Với a và b là hai số bất kì, thức hiện phép tính (a + b)(a + b).
Đáp án:
(a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)
= a2 + ab + ba + b2
= a2 + 2ab + b2
Bài 2: Tính [a + (-b)]2 (với a, b là các số tùy ý).
Đáp án:
Ta áp dụng hằng đẳng thức 1 ta có như sau
[a + (-b)]² = a² + 2.a.(-b) + ( -b)² = a² – 2ab + b² .
Bài 3: Tìm giá trị của x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0
Đáp án:
x² (x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x² (x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2
Tổng kết
Trên đây là bài viết từ congthuctoanlyhoa về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cùng bài tập và lời giải chi tiết. Mong rằng các bạn học sinh có thể nắm vững các kiến thức trên để luyện tập nhuần nhuyễn và vượt qua các kỳ thi trên lớp thật tốt.