[Toán 10] Công thức tích vô hướng của hai vectơ chuẩn nhất 2022

Trong bài viết này, công thức tích vô hướng của hai vectơ, các ứng dụng của dạng này sẽ được triển khai để gửi đến các bạn học sinh. Đây là kiến thức nền quan trọng trong Đại số lớp 10, các bạn cố gắng học kết hợp làm bài tập thường xuyên để nắm thật vững nội dung này nhé!

Thế nào là tích vô hướng của hai vectơ?

Cho hai vectơ  và  đều khác vectơ . Tích vô hướng của  và  là một số (đại lượng đại số), kí hiệu là ., và được xác định bởi công thức sau:

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ  và  bằng vectơ , ta có:

• Khi  và  bằng vectơ , ta có:

Xem thêm: [Toán 9] Vectơ là gì? Định nghĩa chuẩn theo SGK của Bộ GD

Bình phương vô hướng

Góc giữa hai vectơ là gì?

Cho hai vectơ  và  như mô tả trong hình sau:

Số đo góc trên được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ  và .

Nếu số đo ấy bằng 90 độ, ta nói  vuông góc với .

Tính chất của tích vô hướng

Định lý

Cho 3 vectơ a,b,c tùy ý và một số thực k, ta có:

Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:

Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Dễ dàng thấy, ta chứng minh được MT²= MA.MB thông qua việc chứng minh tam giác đồng dạng

Mặt khác, theo định lý Pytago vào tam giác OMT vuông tại T (vì MT là tiếp tuyến)

Ta có: MT²= OM² – OT²

Đây chính là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) a.

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ

Ứng dụng 

Từ biểu thức tọa độ của tích vô hướng, ta suy ra được một số hệ thức quan trọng sau, cho phép ta tính được: độ dài và góc của hai vectơ khi biết tọa độ của chúng và tính được khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ của hai điểm đó. Đây cũng là điểm quan trọng của bài học này trong chương trình Hình học 10.

Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ = (a₁, a₂) được tính theo công thức:

Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa của tích vô hướng của hai vectơ, ta suy ra nếu = (a₁, a₂) và = (b₁, b₂) đều khác  thì ta có:

Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) được tính theo công thức:

Các dạng bài tập ví dụ về tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập kèm lời giải chi tiết

Sau đây là một số bài tập kèm lời giải cùng 3 câu trắc nghiệm thêm để bạn luyện tập, hãy cố gắng hoàn tất đến câu cuối cùng.

Bài 1: Tính tích vô hướng của (2;3) và (1;1) biết chúng tạo với nhau một góc 30 độ.

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ, ta có:

Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a, đường chéo BD. Tính các tích vô hướng sau: AD.AB, AD.BD và AB.CD.

Hướng dẫn:

Bài 3: Tính giá trị biểu thức của 

Hướng dẫn:

Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x

Hướng dẫn:

Ta có:

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc x.

Bài tập thêm

Câu 1: Cho (4;3) và (-3;4). Góc hợp bởi 2 vectơ trên là 90 độ. Tích vô hướng của hai vectơ trên là:

Câu 2: Cho (1;3) và (-2;4). Góc tạo bởi hai vectơ trên là:

Câu 3: Cho 2 vectơ như dưới. Tìm giá trị của k để vectơ a vuông góc vectơ b.

Tổng kết

Công Thức Toán Lý Hóa gửi đến các bạn bài viết hệ thống lại kiến thức cho công thức tích vô hướng của hai vecto. Đây là kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình lớp 10, nếu không cẩn thận có thể bị mất căn bản. Vì vậy, các bạn học sinh cố gắng ôn tập hằng ngày để ghi nhớ thật tốt bài học này nhé!