[Toán 11] Phép đồng dạng – lý thuyết, bài tập, lời giải

Phép đồng dạng là một dạng có liên quan mật thiết đến phép dời hình và phép vị tự quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Vậy nó là gì? Có công thức và cách làm ra sao? Mời các bạn học sinh đọc qua bài viết này để hiểu hơn về dạng toán này nhé!

Phép đồng dạng là gì?

Định nghĩa

Phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng với tỉ số k (k>0) nếu với hai điểm bất kì M, N và ảnh M’, N’ của chúng, ta có:

Nhận xét:

• Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k=1
• Phép vị tự V(I;k) là phép đồng dạng tỉ số |k|
• Mối quan hệ giữa phép dời hình, phép vị tự, phép đồng dạng có thể biểu diễn qua sơ đồ sau:

Chú ý

Ta nói rằng F là phép hợp thành của 2 phép biến hình V và D.

Hoặc có thể nói F là tích của hai phép biến hình V và D.

Ký hiệu: F=D.V

• Vậy để xác định ảnh của một điểm M qua phép biến hình tích F=D.V, ta làm như sau:
  • Xác định ảnh của M qua phép vị tự V được ảnh M1.
  • Xác định ảnh của M1 qua phép dời hình D ta được M’

Ta được M’ là ảnh của M qua phép biến hình F=D.V.

Định lý

Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình D.

Tính chất của phép đồng dạng

Từ định lý trên, ta có các hệ quả sau:

Phép đồng dạng tỉ số k>0 trong chương trình Hình học 11:

• Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó
• Biến đường thẳng thành đường thẳng
• Biến tia thành tia
• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài được nhân lên k lần (trong đó, k là tỷ số của phép đồng dạng)
• Biến 1 tam giác thành tam giác đồng dạng tỷ số k
• Biến 1 đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k.R
• Biến góc bằng với góc đó

Nhận xét:

Phép đồng dạng không có tính chất “biến đường thẳng thành đường song song hoặc trùng với nó” như phép đồng vị.

Xem thêm: [Toán 11] Phép tịnh tiến và dạng bài tập phép tịnh tiến kèm lời giải

Hai hình đồng dạng

Định nghĩa

Hai hình được gọi là đồng dạng nếu như có hình phép đồng dạng biến hình này thành hình còn lại

So sánh phép dời hình, phép vị tự, phép đồng dạng

• Giống nhau
  • Đều biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ban đầu
  • Biến đường thẳng, tia, góc thành đường thẳng, tia, góc bằng nó

• Khác nhau

Xem thêm: [Toán 11] Công thức phép vị tự và bài tập có lời giải CHUẨN

Bài tập minh họa kèm lời giải từ cơ bản đến nâng cao

Bài 1: Cho một đường thẳng d: x – y +1 = 0, d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(1;1), k=2 và phép tịnh tiến theo vecto v (-2;-1). Viết phương trình của d’.

Bài 2: Cho đường tròn sau (C): (x-1)²+ (y-2)²=4. Tìm ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O của (C) với tỷ số k=-2 và phép đối xứng qua trục Oy.

Bài 3: Cho đường thẳng d trong mặt phẳng Oxy có phương trình là: x+y-2=0. Thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;-1), k=½ và phép quay tâm O bằng -45 độ, được ảnh d’ và d’. Viết phương trình d’.

Tổng kết

Qua bài viết này, congthuctoanlyhoa.com hy vọng các bạn học sinh đã nắm vững được kiến thức về Phép đồng dạng này. Hẹn gặp lại các bạn ở những bài sau cùng các dạng bài tập đa dạng và thú vị hơn.