[Toán 11]Tổng hợp lý thuyết và bài tập về Giới hạn

Giới Hạn là chương mở đầu cho môn học Đại số lớp 11 và được áp dụng xuyên suốt nhiều bài tập cơ bản lẫn nâng cao. Hôm nay chúng ta sẽ cùng tổng hợp về kiến thức này nhé!

Bạn đang xem bài viết: lý thuyết và bài tập về Giới hạn

Khái niệm Giới hạn

Trong Toán học, khái niệm “giới hạn” được sử dụng để chỉ giá trị mà một dãy số hoặc hàm số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó.

Ký hiệu của Giới hạn được viết là lim . Khi muốn chỉ a là giới hạn của dãy số (a_n) ta viết lim(a_n) = a hoặc a_n → a.

Vậy giới hạn của dãy số và hàm số như thế nào, ta cùng tìm hiểu phần tiếp theo.

Giới hạn của dãy số

Giới hạn hữu hạn

Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đôi nhỏ hơn số dương đó.

Ta có kí hiệu:

Dãy số (u_n) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn

Lưu ý, một số giới hạn đặc biệt

Xem thêm: [Toán 11] Quy tắc đếm. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp hiệu quả

Giới hạn vô cực

Lưu ý một số kết quả đặc biệt như sau:

• lim n^k  = +∞ với mọi k > 0
• lim qⁿ= +∞  với mọi 1 > 0

Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Một số định lý về giới hạn

Với các bài toán về giới hạn, ta có thể áp dụng các định lý sau theo sách giáo khoa Đại số lớp 11 

Định lý 1: 

Nếu dãy số (u_n) thỏa | u_n | < v_n kể từ số hạng nào đó trở đi và lim v_n = 0 thì

lim u_n = 0

Định lý 2:

Cho lim u_n = a, lim v_n = b. ta có

• lim (u_n + v_n) = a + b
• lim (u_n – v_n) = a – b
• lim(u_n.v_n) = a.b
• lim (u_n/v_n) = a/b (b khác 0)
• Nếu u_n ≥ 0∀ thì lim √u_n = √a

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân (u_n) có công bội q thỏa |q| < 1. Khi đó tổng

S= u₁ + u₂ + … + … gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và

Giới hạn của hàm số

Giới hạn hàm số

Cho khoảng K chứa điểm x₀. Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K ( có thể trừ điểm x₀) có giới hạn là L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kí, x_n ∈ K { x₀} và x_n→ x₀, ta có: f(x_n)→ L.

Ta có kí hiệu như sau:

Giới hạn một bên

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x₀;b). Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x dần tới x₀ nếu với mọi dãy (xn): x₀ < x_n < b mà x_n → x₀

thì ta có :f(x_n) → L. 

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;x₀). Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy (x_n) : a < x_n < x₀ mà x_n → x₀ thì ta có: f(x_n) → L

Lưu ý

Giới hạn tại vô cực

Giới hạn vô cực

• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x₀ nếu với mọi dãy số (x_n) : x_n →  x₀ thì f(x_n) → +∞
• Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực
• Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x bởi –∞ hoặc +∞

Các định lý về giới hạn

Định lí 1: giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương ( mẫu số dần về L ≠ 0) khi x → x0 (hay x → +∞; x → -∞) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x → x0 (hay x → +∞; x → -∞)

Lưu ý,  Định lý trên ta chỉ có thể áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.

Định lí 2: 

Ta có thêm một số giới hạn đặc biệt như sau:

Bài tập thực hành

Bài 1: Tính

Bài 2:

Tổng kết

Như vậy, Công thức Toán Lý Hóa đã vừa điểm qua các kiến thức quan trọng trong bài Giới hạn của chương trình Toán học lớp 11. Hy vọng bài viết đã giúp cho các bạn hiểu rõ và nắm được các lưu ý đặc biệt để áp dụng bào tập nhuần nhuyễn hơn.