Giới Hạn là chương mở đầu cho môn học Đại số lớp 11 và được áp dụng xuyên suốt nhiều bài tập cơ bản lẫn nâng cao. Hôm nay chúng ta sẽ cùng tổng hợp về kiến thức này nhé!
Bạn đang xem bài viết: lý thuyết và bài tập về Giới hạn
Mục Lục
Khái niệm Giới hạn
Trong Toán học, khái niệm “giới hạn” được sử dụng để chỉ giá trị mà một dãy số hoặc hàm số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó.
Ký hiệu của Giới hạn được viết là lim . Khi muốn chỉ a là giới hạn của dãy số (an) ta viết lim(an) = a hoặc an → a.
Vậy giới hạn của dãy số và hàm số như thế nào, ta cùng tìm hiểu phần tiếp theo.
Giới hạn của dãy số
Giới hạn hữu hạn
Dãy số (un) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đôi nhỏ hơn số dương đó.
Ta có kí hiệu:
Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn
Lưu ý, một số giới hạn đặc biệt
Xem thêm: [Toán 11] Quy tắc đếm. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp hiệu quả
Giới hạn vô cực
Lưu ý một số kết quả đặc biệt như sau:
- lim nk = +∞ với mọi k > 0
- lim qn= +∞ với mọi 1 > 0
Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Một số định lý về giới hạn
Với các bài toán về giới hạn, ta có thể áp dụng các định lý sau theo sách giáo khoa Đại số lớp 11
Định lý 1:
Nếu dãy số (un) thỏa | un | < vn kể từ số hạng nào đó trở đi và lim vn = 0 thì
lim un = 0
Định lý 2:
Cho lim un = a, lim vn = b. ta có
- lim (un + vn) = a + b
- lim (un – vn) = a – b
- lim(un.vn) = a.b
- lim (un/vn) = a/b (b khác 0)
- Nếu un ≥ 0∀ thì lim √un = √a
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho cấp số nhân (un) có công bội q thỏa |q| < 1. Khi đó tổng
S= u1 + u2 + … + … gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và
Giới hạn của hàm số
Giới hạn hàm số
Cho khoảng K chứa điểm x0. Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K ( có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kí, xn ∈ K { x0} và xn→ x0, ta có: f(xn)→ L.
Ta có kí hiệu như sau:
Giới hạn một bên
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0;b). Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy (xn): x0 < xn < b mà xn → x0
thì ta có :f(xn) → L.
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;x0). Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy (xn) : a < xn < x0 mà xn → x0 thì ta có: f(xn) → L
Lưu ý
Giới hạn tại vô cực
Giới hạn vô cực
- Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn) : xn → x0 thì f(xn) → +∞
- Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực
- Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x bởi –∞ hoặc +∞
Các định lý về giới hạn
Định lí 1: giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương ( mẫu số dần về L ≠ 0) khi x → x0 (hay x → +∞; x → -∞) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x → x0 (hay x → +∞; x → -∞)
Lưu ý, Định lý trên ta chỉ có thể áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.
Định lí 2:
Ta có thêm một số giới hạn đặc biệt như sau:
Bài tập thực hành
Bài 1: Tính
Bài 2:
Tổng kết
Như vậy, Công thức Toán Lý Hóa đã vừa điểm qua các kiến thức quan trọng trong bài Giới hạn của chương trình Toán học lớp 11. Hy vọng bài viết đã giúp cho các bạn hiểu rõ và nắm được các lưu ý đặc biệt để áp dụng bào tập nhuần nhuyễn hơn.