Công Thức Toán Lý Hóa
  • Trang Chủ
  • Công thức Toán học
    • Công thức Toán lớp 8
      • Đại số lớp 8
      • Hình học lớp 8
    • Công thức Toán lớp 9
      • Đại số lớp 9
      • Hình học lớp 9
    • Công thức Toán lớp 10
      • Đại số lớp 10
      • Hình học lớp 10
    • Công thức Toán Lớp 11
      • Đại số lớp 11
      • Hình học lớp 11
    • Công thức Toán Lớp 12
      • Đại số lớp 12
      • Hình học lớp 12
  • Công thức Vật Lý
    • Công thức Vật Lý 8
    • Công thức Vật Lý 9
    • Công thức Vật Lý 10
    • Công thức Vật Lý 11
    • Công thức Vật Lý 12
  • Công thức Hóa học
    • Công thức Hóa học 8
    • Công thức Hóa học 9
    • Công thức Hóa học 10
    • Công thức Hóa học 11
    • Công thức Hóa học 12
  • Ngữ Văn
    • Ngữ Văn lớp 9
    • Ngữ Văn Lớp 10
    • Ngữ Văn Lớp 11
    • Ngữ Văn Lớp 12
Công Thức Toán Lý Hóa
  • Trang Chủ
  • Công thức Toán học
    • Công thức Toán lớp 8
      • Đại số lớp 8
      • Hình học lớp 8
    • Công thức Toán lớp 9
      • Đại số lớp 9
      • Hình học lớp 9
    • Công thức Toán lớp 10
      • Đại số lớp 10
      • Hình học lớp 10
    • Công thức Toán Lớp 11
      • Đại số lớp 11
      • Hình học lớp 11
    • Công thức Toán Lớp 12
      • Đại số lớp 12
      • Hình học lớp 12
  • Công thức Vật Lý
    • Công thức Vật Lý 8
    • Công thức Vật Lý 9
    • Công thức Vật Lý 10
    • Công thức Vật Lý 11
    • Công thức Vật Lý 12
  • Công thức Hóa học
    • Công thức Hóa học 8
    • Công thức Hóa học 9
    • Công thức Hóa học 10
    • Công thức Hóa học 11
    • Công thức Hóa học 12
  • Ngữ Văn
    • Ngữ Văn lớp 9
    • Ngữ Văn Lớp 10
    • Ngữ Văn Lớp 11
    • Ngữ Văn Lớp 12
Công Thức Toán Lý Hóa
Trang Chủ Công thức Toán học Công thức Toán Lớp 11 Đại số lớp 11

[Toán 11]Tổng hợp lý thuyết và bài tập về Giới hạn

Thư Anh Bởi Thư Anh
Tháng Tám 10, 2022
Trong Đại số lớp 11, Công thức Toán Lớp 11
0
Tổng hợp lý thuyết và bài tập về Giới hạn
0
Chia Sẻ
15
Lượt Xem
Share on FacebookShare on Twitter

Giới Hạn là chương mở đầu cho môn học Đại số lớp 11 và được áp dụng xuyên suốt nhiều bài tập cơ bản lẫn nâng cao. Hôm nay chúng ta sẽ cùng tổng hợp về kiến thức này nhé!

Bạn đang xem bài viết: lý thuyết và bài tập về Giới hạn

Mục Lục

  • Khái niệm Giới hạn
  • Giới hạn của dãy số
    • Giới hạn hữu hạn
    • Giới hạn vô cực
    • Một số định lý về giới hạn
    • Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
  • Giới hạn của hàm số
    • Giới hạn hàm số
    • Giới hạn một bên
    • Giới hạn tại vô cực
    • Giới hạn vô cực
    • Các định lý về giới hạn
  • Bài tập thực hành
  • Tổng kết

Khái niệm Giới hạn

Trong Toán học, khái niệm “giới hạn” được sử dụng để chỉ giá trị mà một dãy số hoặc hàm số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó.

Ký hiệu của Giới hạn được viết là lim . Khi muốn chỉ a là giới hạn của dãy số (an) ta viết lim(an) = a hoặc an → a.

Vậy giới hạn của dãy số và hàm số như thế nào, ta cùng tìm hiểu phần tiếp theo.

Giới hạn của dãy số

Giới hạn hữu hạn

Dãy số (un) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đôi nhỏ hơn số dương đó.

Ta có kí hiệu:

giới hạn của dãy số

giới hạn của dãy số

Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn

Lưu ý, một số giới hạn đặc biệt

giới hạn của dãy số

Xem thêm: [Toán 11] Quy tắc đếm. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp hiệu quả

Giới hạn vô cực

giới hạn của dãy số

Lưu ý một số kết quả đặc biệt như sau:

  • lim nk  = +∞ với mọi k > 0
  • lim qn= +∞  với mọi 1 > 0

Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

giới hạn của dãy số

giới hạn của dãy số

giới hạn của dãy số

Một số định lý về giới hạn

Với các bài toán về giới hạn, ta có thể áp dụng các định lý sau theo sách giáo khoa Đại số lớp 11 

Định lý 1: 

Nếu dãy số (un) thỏa | un | < vn kể từ số hạng nào đó trở đi và lim vn = 0 thì

lim un = 0

Định lý 2:

Cho lim un = a, lim vn = b. ta có

  • lim (un + vn) = a + b
  • lim (un – vn) = a – b
  • lim(un.vn) = a.b
  • lim (un/vn) = a/b (b khác 0)
  • Nếu un ≥ 0∀ thì lim √un = √a

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân (un) có công bội q thỏa |q| < 1. Khi đó tổng

S= u1 + u2 + … + … gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và

tổng của cấp số nhân lim

Giới hạn của hàm số

Giới hạn hàm số

Cho khoảng K chứa điểm x0. Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K ( có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kí, xn ∈ K { x0} và xn→ x0, ta có: f(xn)→ L.

Ta có kí hiệu như sau:

giới hạn hàm số

Giới hạn một bên

  • Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0;b). Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy (xn): x0 < xn < b mà xn → x0

thì ta có :f(xn) → L. 

  • Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;x0). Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy (xn) : a < xn < x0 mà xn → x0 thì ta có: f(xn) → L

Lưu ý

giới hạn hàm số

Giới hạn tại vô cực

giới hạn hàm số

Giới hạn vô cực

  • Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn) : xn →  x0 thì f(xn) → +∞
  • Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực
  • Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x bởi –∞ hoặc +∞

Các định lý về giới hạn

Định lí 1: giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương ( mẫu số dần về L ≠ 0) khi x → x0 (hay x → +∞; x → -∞) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x → x0 (hay x → +∞; x → -∞)

Lưu ý,  Định lý trên ta chỉ có thể áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.

Định lí 2: 

giới hạn hàm số

Ta có thêm một số giới hạn đặc biệt như sau:

giới hạn hàm số

Bài tập thực hành

Bài 1: Tính

bài tập giới hạn

Bài 2:

giới hạn hàm số

Tổng kết

Như vậy, Công thức Toán Lý Hóa đã vừa điểm qua các kiến thức quan trọng trong bài Giới hạn của chương trình Toán học lớp 11. Hy vọng bài viết đã giúp cho các bạn hiểu rõ và nắm được các lưu ý đặc biệt để áp dụng bào tập nhuần nhuyễn hơn.

giới hạn

Tags: các giới hạn đặc biệtcông thức giới hạn limgiới hạngiới hạn dãy sốgiới hạn hàm sốgiới hạn là gìgiới hạn lớp 11giới hạn vô cựctính giới hạn của hàm số
Thư Anh

Thư Anh

Liên QuanBài Viết

hai mặt phẳng song song là gì
Hình học lớp 11

[Toán 11] Hai mặt phẳng song song – Lý thuyết và bài tập HAY

Tháng Tám 10, 2022
phép đồng dạng là gì
Hình học lớp 11

[Toán 11] Phép đồng dạng – lý thuyết, bài tập, lời giải

Tháng Tám 10, 2022
phép vị tự là gì
Hình học lớp 11

[Toán 11] Công thức phép vị tự và bài tập có lời giải CHUẨN

Tháng Tám 10, 2022
Bài Viết Tiếp Theo
hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

[Toán 11] Tổng hợp ĐẦY ĐỦ NHẤT 8 công thức hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp

[Toán 11] Hàm số lượng giác – Lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp

[Toán 11] Hàm số lượng giác - Lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

[Toán 10] Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác MỚI NHẤT

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Chuyên mục Hot

  • Công thức Hóa học
  • Công thức Hóa học 10
  • Công thức Hóa học 11
  • Công thức Hóa học 12
  • Công thức Hóa học 8
  • Công thức Hóa học 9
  • Công thức Toán học
  • Công thức Toán lớp 10
  • Công thức Toán Lớp 11
  • Công thức Toán Lớp 12
  • Công thức Toán lớp 8
  • Công thức Toán lớp 9
  • Công thức Vật Lý
  • Công thức Vật Lý 10
  • Công thức Vật Lý 11
  • Công thức Vật Lý 12
  • Công thức Vật Lý 8
  • Công thức Vật Lý 9
  • Đại số lớp 10
  • Đại số lớp 11
  • Đại số lớp 12
  • Đại số lớp 8
  • Đại số lớp 9
  • Hình học lớp 10
  • Hình học lớp 11
  • Hình học lớp 12
  • Hình học lớp 8
  • Hình học lớp 9
  • Ngữ Văn
  • Ngữ Văn Lớp 10
  • Ngữ Văn Lớp 11
  • Ngữ Văn Lớp 12
  • Ngữ văn lớp 8
  • Ngữ Văn lớp 9

CLICK ẢNH bên dưới ủng hộ Team bạn nhé

Công Thức Toán Lý Hóa

Website chuyên cung cấp các kiến thức Toán Lý Hóa Văn Anh từ các cấp bậc Tiểu học, THCS, THPT, Đại học

Congthuctoanlyhoa.com là một website con trong hệ sinh thái website Review của Leo Agency

Liên hệ booking: 0708777767 Mr.Minh

HỆ SINH THÁI REVIEW
  • Nghề Content
  • Chuyên Giá Sỉ
  • Blog Phần Mềm
  • Khóa học Marketing
  • Nổi Bật
  • Bình Luận
  • Mới Nhất
Động năng thế năng cơ năng

[Vật lý 10] Động năng – Thế năng – Cơ năng là gì?

Tháng Tám 10, 2022
[Toán 10] Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

[Toán 10] Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Tháng Tám 10, 2022
soạn bài Chiếc lược ngà

[Ngữ văn 9] Soạn bài Chiếc lược ngà đầy đủ, hay nhất

Tháng Tám 10, 2022
[ TOÁN 9 ] Căn bậc 2 là gì? Công thức tính căn bậc 2 chuẩn bộ giáo dục

[ TOÁN 9 ] Căn bậc 2 là gì? Công thức tính căn bậc 2 chuẩn bộ giáo dục

Tháng Tám 10, 2022
phân tích cảnh ngày xuân - congthuctoanlyhoa.com

[Ngữ Văn 9] Top 3 bài mẫu phân tích Cảnh ngày xuân – Truyện Kiều kèm Dàn ý chi tiết hay nhất 2022

0
hàm số bậc nhất là gì

[Toán 9]Hàm số bậc nhất là gì? Lý thuyết và cách tính hàm số bậc nhất

0
[ TOÁN 9 ] Căn bậc 2 là gì? Công thức tính căn bậc 2 chuẩn bộ giáo dục

[ TOÁN 9 ] Căn bậc 2 là gì? Công thức tính căn bậc 2 chuẩn bộ giáo dục

0
Hình trụ là gì

[Toán 9] Hình trụ là gì? Diện tích xung quanh và Thể tích hình trụ

0
phân tích cảnh ngày xuân - congthuctoanlyhoa.com

[Ngữ Văn 9] Top 3 bài mẫu phân tích Cảnh ngày xuân – Truyện Kiều kèm Dàn ý chi tiết hay nhất 2022

Tháng Tám 22, 2022
soạn bài Truyện Kiều ngắn nhất - congthuctoanlyhoa.com

[Ngữ Văn 9] Soạn bài Truyện Kiều ngắn nhất, đầy đủ chuẩn Bộ GD

Tháng Tám 17, 2022
soạn bài truyện kiều - congthuctoanlyhoa.com

[Ngữ Văn 9] Soạn bài Truyện Kiều chi tiết nhất theo SGK

Tháng Tám 17, 2022
đọc hiểu Thái sư Trần Thủ Độ

[Ngữ văn 10] Đọc hiểu tác phẩm Thái sư Trần Thủ Độ – tác giả Ngô Sĩ Liên ngắn dễ hiểu nhất

Tháng Tám 16, 2022
  • Home

© 2021 Bản quyền thuộc về Bảng Xếp Hạng . com