[Toán 9] Hình cầu là gì? Diện tích mặt cầu và Thể tích hình cầu

Trong đời sống thường nhật, ta đã thấy nhiều vật dụng có hình cầu, như trái bóng đá, trái cam, golf…Và bài viết này sẽ giới thiệu đến các bạn học sinh về hình cầu cùng công thức tính diện tích và thể tích của nó một cách chi tiết nhất. Ngoài ra, đây cũng là bài cuối cùng của chương trình THCS phân môn hình học, cũng là kiến thức nền tảng để các bạn chinh phục được chương trình THPT một cách tự tin nhất.

Định nghĩa hình cầu cụ thể

Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định thì được một hình cầu

• Nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo thành một mặt cầu.
• Điểm O được gọi tâm, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu đó.

Cắt hình cầu bởi mặt phẳng

Chúng ta có các tính chất sau:

• Bất kỳ mặt phẳng nào cắt qua mặt cầu, ta đều nhận được mặt cắt là hình tròn
• Bất kỳ mặt phẳng nào cắt mặt cầu, ta được một đường tròn, trong đó:
  • Đường tròn đó có bán kính = R nếu mặt phẳng đi qua tâm (đường tròn lớn)
  • Đường tròn đó có bán kính < R nếu mặt phẳng không đi qua tâm

Xem thêm

[Toán 9] Hình trụ là gì? Diện tích xung quanh và Thể tích

[Toán 9] Công thức diện tích xung quanh hình nón chuẩn SGK

Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Cho hình cầu có bán kính R, đường kính d

• Diện tích mặt cầu:

• Thể tích hình cầu:

Các dạng toán thường gặp về hình cầu

Hình cầu là một trong những bài quan trọng của chương trình Hình Học Lớp 9, các bạn học sinh cố gắng ghi chép và luyện tập cẩn thận.

Dạng 1: Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu và bán kính hình cầu.

Phương pháp:

Ta sử dụng các công thức tính diện tích mặt cầu S = 4πR² và thể tích hình cầu V = (4/3)πR³

Dạng 2: Bài toán tổng hợp

Phương pháp:

Vận dụng các công thức trên và các kiến thức đã học để tính các đại lượng chưa biết rồi từ đó tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu.

Bài tập minh họa hình cầu

Bài tập cơ bản

Bài 1: Tính diện tích của mặt cầu có bán kính R = 3cm.

Theo công thức, ta có diện tích mặt cầu là:  S = 4R²π= 4.3².π = 32π(cm²)

Bài 2: Khi bán kính của một mặt cầu tăng lên 3/2 lần thì diện tích và thể tích sẽ thay đổi như thế nào?

Dựa theo công thức, khi R tăng 3/2 thì diện tích tăng lên R² lần tức là 9/4 lần.

Tương tự đối với thể tích V = (4/3)πR³

Khi R tăng lên 3/2 thì thể tích tăng lên R³, tức là 27/8 lần.

Bài 3: Trái cam có hình tương tự mặt cầu, và bạn Tiến cắt đôi trái cam để đo đường kính của nửa cam vừa cắt. Bạn đo được bán kính (tính cả vỏ) là 2,5cm, biết vỏ dày 3mm. Tính thể tích thực của cam mà Tiến đã ăn.

Xem phần cam mà Tiến ăn là một dạng mặt cầu, vậy bán kính R của mặt cầu là bán kính Tiến đã đo và trừ đi phần vỏ 3mm

2,5cm = 25mm

Vậy, ta có: R = 25 – 3 = 22(mm)

Vậy, thể tích thực của cam mà Tiến đã ăn là:

Bài tập nâng cao

Bài 1: Tính bán kính mặt cầu, biết mặt cầu đó có số đo đại số diện thích bằng số đo đại số thể tích.

Theo đề và công thức, ta có như sau:

Bài 2: Tính thể tích của mặt cầu có bán kính R(cm) thỏa mãn phương trình sau:

x² – 3x – 4 = 0.

Áp dụng nghiệm của phương trình bậc 2, ta có 2 nghiệm trái dấu là x = -1 và x = 4, chỉ chọn nghiệm x = 4(cm).

Từ đó, thể tích của mặt cầu V có là:

Tổng kết

Bài viết đã tổng kết và hệ thống lại tất cả lý thuyết về hình cầu cũng như công thức tính diện tích và thể tích của nó. Qua đây, Công Thức Toán Lý Hóa mong rằng các bạn học sinh lớp 9 sẽ nắm được căn bản của bài học này cũng như các bài khác trong phân hình học để có thể tự tin chinh phục chương trình học THPT sắp tới. Chúc các bạn đạt thành tích cao trong học tập.