Bất đẳng thức Cosi thuộc kiến thức Toán 10 được nhận định là khá quan trọng. Tuy nhiên trong quá trình học thì lại khá khó nhớ và khó hiểu. Bài viết dưới đây là toàn bộ tổng hợp về công thức, cách thể hiện, hệ quả, cách chứng minh và các dạng toán của bất đẳng thức Cosi.
Bạn đang đọc bài viết: [Toán 10] Bất đẳng thức Cosi – chuẩn công thức và bài giải chi tiết
Lý thuyết về bất đẳng thức Cosi
Định nghĩa bất đẳng thức Cosi
Bất đẳng thức Cosi có tên chính xác là bất đẳng thức AM-GM (viết tắt của Arithmetic Mean và Geometric Mean), là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Trong đó, trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
Bất đẳng thức này cũng được biết đến với tên bất đẳng thức Cauchy. Không phải do Cauchy phát hiện ra nhưng có lẽ do cách chứng minh của ông là độc đáo nhất nên bất đẳng thức này cũng được gọi bằng tên của ông.
Ví dụ:
1. Chứng minh BĐT cosi với 2 số thực a và b không âm
Với a=0, b=0 thì bất đẳng thức luôn luôn đúng. còn với a, b lớn hơn 0, ta có thể chứng minh như sau:
2. BĐT Cosi với n số thực không âm
Xem thêm kiến thức về: [Toán 10] Hàm số là gì? Lý thuyết về hàm số bậc một, bậc hai
Bất đẳng thức Cosi được biểu diễn như thế nào
Bất đẳng thức Cosi được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau, tui nhiên có thể chia thành 2 nhóm chính là: biểu diễn dạng tổng quát và biểu diễn dạng đặc biệt.
Bất đẳng thức dạng tổng quát
Cho 
là các số thực dương ta có:
Bất đẳng thức dạng đặc biệt
Đây là các trường hợp đặc biệt, cụ thể hơn dạng tổng quát ở trên khi có n cụ thể như n=2, n=3
Hệ quả của bất đẳng thức Cosi
Từ công thức dạng tổng quát và các dạng đặc biệt, ta có 2 hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cosi dưới đây. Các hệ quả này thường được áp dụng nhiều trong việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
- Hệ quả 1: Nếu tổng của 2 số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau.
- Hệ quả 2: Nếu tích của 2 số dương không đổi thì tổng của 2 số này nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.
Một số bất đẳng thức được suy ra từ BĐT Cosi như sau:
Các lưu ý khi sử dụng
Các lưu ý khi sử dụngKhi sử dụng bất đẳng thức Cosi trong chương trình Đại số 10 thì có những lưu ý như sau:
- Khi áp dụng BĐT Cosi thì các số phải thỏa mãn điều kiện là số không âm
- Áp dụng BĐT Cosi khi trong bất đẳng thức có tổng tích cần chứng minh
- Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số bằng nhau
Cách chứng minh bất đẳng thức Cosi
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực không âm
Với 2 số thực không âm a và b, ta thấy khi a và b đều bằng 0 thì biểu thức này luôn đúng. Lúc này, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức Cosi luôn đúng với 2 số a, b dương.
Cách chứng minh như sau:
Như vậy ta đã chứng minh được BĐT Cosi luôn đúng với 2 số thực không âm
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực không âm
- Với a, b, c đều bằng 0, BĐT Cosi luôn đúng
- Với a, b, c dương, ta chứng minh BĐT Cosi như sau:
Lúc này, ta quay về dạng chứng minh bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương
Khi đó, dấu bằng xảy ra khi x = y = z hay a = b = c
Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm
Theo chứng minh BĐT Cosi với 2 số dương ta được biểu thức luôn đúng. Suy ra, với n = 2 (2 số thực không âm) thì BĐT Cosi luôn đúng.
Do đó, để chứng minh bất đẳng thức luôn đúng với n số thì cần chứng minh nó cũng đúng với 2n số. Cách chứng minh như sau:
Theo tính chất quy nạp thì bất đẳng thức này đúng với n là một lũy thừa của 2.
Các dạng bài tập của bất đẳng thức Cosi
Để áp dụng BĐT Cosi, ta thường dùng các kĩ thuật sau đây:
- Kĩ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
- Kĩ thuật ghép cặp, thêm bớt
- Kỹ thuật Cosi ngược dấu
Dạng 1: Áp dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp
Dưới đây là một số ví dụ về áp dụng trực tiếp BĐT Cosi vào bài toán
Dạng 2: Áp dụng bất đẳng thức Cosi có biến đối nhân chia thêm bớt
Tổng kết
Trên đây là những kiến thức quan trọng về công thức, hệ quả, cách chứng minh cũng như các dạng toán của bất đẳng thức Cosi. congthuctoanlyhoa.com hi vọng thông qua bài viết này, bạn đọc đã có thể nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập.