Kiến thức về hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp không những là phần cực kì quan trọng trong chương trình Toán 11, mà đây còn là tiền đề cho môn giải tích giải tích và đại số ở chương trình đại học, cao đẳng. Biết được sự quan trọng này, bài viết sau đây đã tổng hợp toàn bộ công thức, cách làm, các dạng toán liên quan đến phần kiến thức này.
Công thức hoán vị
Khái niệm
Hoán vị được hiểu là một song ánh từ một tập hợp hữu hạn X vào chính nó. Nó diễn tả ý tưởng rằng các đối tượng phân biệt có thể được sắp xếp theo một thứ tự khác nhau.
Theo định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A thì được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Công thức
Hoán vị đồng nhất
Hoán vị đồng nhất hay hoán vị “đổi chỗ” là một dạng hoán vị mà phần tử thứ nhất với phần tử thứ nhất, phần tử thứ hai với phần tử thứ hai,… điều này có nghĩa là là trên thực tế không đổi chỗ các phần tử.
Hoán vị lặp
Hiểu 1 cách đơn giản nhất, hoán vị lặp là khi cho n đối tượng mà trong đó có ni đối tượng loại i có cấu trúc giống hệt nhau. Điều này có nghĩa là với mỗi cách sắp xếp n số phần tử trong đó có n1 phần tử là a1, n2 phần tử là a2,…….. và nk phần tử là ak (trong đó: n1 + n2 + n3 +…..+ nk = n) theo một thứ tự bất kì được gọi là hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, n3,….., nk) của k phần tử.
Mỗi cách sắp xếp có thứ tự n đối tượng đã cho gọi là một hoán vị lặp của n.
Công thức tính hoán vị lặp:
Trong đó:
Pn là hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, n3,….., nk) của k phần tử
n = n1 + n2 + n3 +…..+ nk là số phân tử
n1 là số phần tử a1 giống nhau
n2 là số phần tử a2 giống nhau
….
nk là số phần tử ak giống nhau
Ví dụ: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số gồm 7 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Xếp các chữ số 0, 1, 2, 3, 2, 3, 4 thành một hàng có gì cách xếp. Xếp các chữ số 0, 1, 2, 3, 2, 3, 4 thành một hàng sao cho chữ số 0 đứng đầu có 9 cách xếp. và 7! 6! i = 1440 số thỏa mãn yêu cầu.
Hoán vị vòng quanh
Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A tạo thành một vòng khép kín theo một thứ tự nào đó thìđược gọi là hoán vị vòng quanh của n phần tử. Ở đây ta phân biệt thứ tự theo chiều kim đồng hồ và ngựơc chiều kim đồng hồ và không phân biệt điểm bắt đầu của vòng này.
Công thức tính: Q(n)= (n-1)!
Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn nữ và 3 bạn nam thành 1 vòng tròn sao cho mỗi bạn nam phải đứng giữa bạn 2 nữ bất kỳ?
Chọn 1 bạn nữ cố định, ta xếp 4 bạn nữ còn lại quanh vòng tròn thì giữa 5 bạn nữ này có 5 chỗ trống. Chỉ cần đặt 3 bạn nam vào 3 trong 5 vị trí này thì được ngay một cách xếp. Khi đó, có 4!. A = 1440 cách.
Công thức chỉnh hợp
Khái niệm
Chỉnh hợp là cách chọn lựa các phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt theo thứ tự sắp xếp, trái ngược so với tổ hợp là không phân biệt theo thứ tự sắp xếp.
Theo định nghĩa, chỉnh hợp chập k của n phần tử chính là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng thuộc S, có sắp xếp theo thứ tự.
Ví dụ:
1. Xếp ngẫu nhiên 5 quyển sách vào 3 ngăn kéo. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện trên?
Mỗi cách sắp xếp 5 quyển sách vào 3 ngăn kéo xem như một chỉnh hợp lặp chập 3 của 5 (mỗi lần xếp một quyển sách vào một ngăn, ta có thể xem như chọn một trong 3 ngăn nên có 3 cách chọn. Do có 5 quyển sách nên số cách chọn là n = 35 = 243 cách.
2. Mỗi vé số của mỗi tỉnh gồm có 6 chữ số. Hỏi mỗi tỉnh khi phát hành mỗi đợt sẽ phát hành được bao nhiêu vé số khác nhau?
Ta có mỗi vé số gồm có 6 chữ số, nên ta có thể xem việc phát hành ra một vé số là việc chọn ra 6 số bất kỳ có thứ tự có thể trùng nhau từ 10 số từ 0 đến 9. Do đó mỗi vé số được phát hành có thể được xem là một chỉnh hợp lặp chập 6 của 10.
Vậy số vé số có thể phát hành mỗi đợt của mỗi tỉnh là số chỉnh hợp lặp chập 6 của 10
Công thức tổ hợp
Khái niệm
Tổ hợp là cách chọn lựa những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Hoặc tổ hợp chập k của n phần tử chính là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử. Phần tử con này gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp xếp theo đúng thứ tự.
Mối quan hệ giữa tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị
Thông qua định nghĩa, chúng ta có thể thấy tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị có một mối liên hệ với nhau.
Cụ thể một chỉnh hợp chập k của n được tạo thành bằng cách thực hiện 2 bước như sau:
-
Bước 1: Lấy 1 tổ hợp chập k của n phần tử.
-
Bước 2: Hoán vị k phần tử.
Do đó chúng ta có công thức liên hệ giữa chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị như sau:
Tổng hợp các dạng toán
Trong chương trình Đại số 11 , về phần nội dung này thì có các dạng bài toán liên quan thường gặp như sau:
Dạng 1: Bài toán đếm
Đối với dạng bài toán đếm như thế này, ta có phương pháp giải đối với riêng từng trường hợp như sau:
Phương pháp giải:
1. Để nhận diện một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, ta dựa trên các dấu hiệu như sau:
- Tất cả n phần tử đều có mặt
- Mỗi phần tử đều chỉ xuất hiện một lần
- Có phân biệt giữa các phần tử
2. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:
- Phải chọn k phần tử cho n phần tử trước
- Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn
3. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, ta thường dựa trên các dấu hiệu:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước
- Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn
Ví dụ:
Với sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau và trong mỗi số nhất thiết phải có chữ số 1?
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
Đối với dạng toán chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, ta có phương pháp giải sau đây:
Phương pháp giải
Thường sử dụng các cách sau đây
Cách 1: Dùng phép biến đổi
Cách 2: Đánh giá về bất đẳng thức
Cách 3: Chứng minh quy nạp
Cách 4: Dùng phương pháp đếm
Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
Đới với dạng bài toán giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình như thế này, ta thường sử dụng một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Thực hiện việc đơn giản biểu thức để di chuyển phương tình về dạng đại số quen thuộc
Cách 2: Đánh giá thông qua giá trị cận trên hoặc cận dưới
Tổng kết
Trên đây là toàn bộ bài viết tổng hợp những kiến thức trong chương trình đại số lớp 11, về phần định nghĩa, công thức, các dạng toán cũng như cách giải toán liên quan đến nội dung hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. congthuctoanlyhoa hi vọng có thể giúp bạn củng cố kiến thức, hiểu, ghi nhớ và giải quyết thật tốt dạng bài tập này.