Phương trình bậc 2 một ẩn là một trong những kiến thức trọng tâm trong Toán học cấp cơ sở và phổ thông. Sau đây hãy cùng ôn tập những kiến thức lý thuyết, các dạng toán và bài tập cụ thể của phần phương trình bậc 2 một ẩn. Cuối bài sẽ là những đề thi liên quan đến phương trình bậc 2 một ẩn trong các kì thi tuyển sinh vào 10 qua các năm.
Tóm tắt lý thuyết phương trình bậc 2 một ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Trong đó x là ẩn số; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0
Công thức nghiệm của phương trình
Trước tiên, ta xét biệt thức Δ = b2 – 4ac. Sau đó phân tích 3 trường hợp sau đây:
- Trường hợp 1: Δ < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp 2: Δ = 0 ⇒ phương trình chứa nghiệm kép
- Trường hợp 3: Δ > 0 ⇒ phương trình có chứa 2 nghiệm phân biệt
và 
Công thức nghiệm thu gọn
Trong nhiều trường hợp, nếu đặt b=2b’ thì việc giải phương trình sẽ được đơn giản hóa đi rất nhiều. Sau đây là công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2 một ẩn
Hệ thức Vi-et và ứng dụng trong giải phương trình bậc 2 một ẩn
Hệ thức Vi-et thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức trong trường số phức và các hệ số, giúp ích rất nhiều trong việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn. Cụ thể như sau:
Hệ thức Vi-et thuận
Hệ thức Vi-et đảo
Cách giải các dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn
Dạng 1: Giải phương trình bậc 2 một ẩn
+ Trường hợp 1: Phương trình bậc 2 khuyết hạng tử bậc nhất:
– Chuyển hạng tử tự do sang vế phải
– Chia cả 2 vế cho hệ số bậc 2, đưa về dạng x2 = a.
+ Nếu a > 0, phương trình có nghiệm x = ±√a
+ Nếu a = 0, phương trình có nghiệm x = 0
+ Nếu a < 0, phương trình vô nghiệm
+ Trường hợp 2: Phương trình bậc 2 khuyết hạng tử dự do:
– Phân tích vế trái thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, đưa về phương trình tích rồi giải.
+ Trường hợp 3: Phương trình bậc 2 đầy đủ:
– Sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải
– Sử dụng quy tắc tính nhẩm nghiệm để tính nghiệm đối với 1 số phương trình đặc biệt.
Ví dụ:
Giải phương trình: x2 + 5x = 0
Ta có: x2 + 5x = 0
⇔ x(x+5) = 0
⇔ x = 0 hoặc x + 5 =0
⇔ x = 0 hoặc x = -5
⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=0 và x=-5
Dạng 2: Phương trình đưa về phương trình bậc 2 bằng cách đặt ẩn phụ
Gồm 2 trường hợp sau: phương trình trùng phương và phương tình chứa ẩn ở mẫu
Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a≠0)
– Đặt t = x2 (t≥0), đưa PT về dạng: at2 + bt + c = 0
– Giải PT bậc 2 theo t, kiểm tra nghiệm t có thoả điều kiện hay không, nếu có, trở lại phương trình x2 = t để tìm nghiệm x.
Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
– Tìm điều kiện xác định của phương trình
– Quy đồng mẫu thức 2 vế rồi khử mẫu
– Giải phương trình vừa nhận được
– Kiểm tra điều kiện các giá trị tìm được, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện, các giá trị thoả điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
– Sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải.
Dạng 3: Giải biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2 có tham số
Dạng 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, ta làm theo các bước dưới đây:
Bước 1: Lập phương trình
- Xác định đại lượng cần tìm, đại lượng đã cho, mối quan hệ giữa các đại lượng.
- Chọn ẩn phù hợp, đặt điều kiện cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình vừa lập
Bước 3: Kiểm tra nghiệm phương trình và kết luận
- Kiểm tra nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.
- Trả lời câu hỏi của đề bài.
Một số lưu ý khi giải phương trình bậc 2 một ẩn
Trong bộ môn Đại số lớp 9 thì phương trình bậc 2 một ẩn có những lưu ý sau đây:
♦ Nếu gặp hằng đẳng thức 1 và 2 thì đưa về dạng tổng quát giải bình thường, không cần giải theo công thức, ví dụ: x2 – 2x + 1 = 0 ⇔ (x-1)2 = 0 ⇔ x = 1.
♦ Phải sắp xếp lại đúng thứ tự các hạng tử để lập thành phương trình ax2 + bx + c = 0 rồi mới áp dụng công thức, ví dụ: x(x – 5) = 6 ⇔ x2 – 5x = 6 ⇔ x2 – 5x – 6 = 0 ⇔ áp dụng công thức giải tiếp,…
♦ Không phải lúc nào x cũng là ẩn số mà có thể là ẩn y, ẩn z ẩn t hay ẩn a, ẩn b,… tùy vào cách ta chọn
biến, ví dụ: a2 – 3a + 2 = 0; t2 – 6t + 5 = 0.
Tổng kết
Trên đây là những tổng hợp về phương tình bậc 2 một ẩn, hi vọng thông qua bài viết này congthuctoanlyhoa.com đã có thể giúp bạn đọc bạn đọc có thể nắm vững được kiến thức về cách giải phương trình bậc 2 một ẩn cũng như ứng dụng hệ thức Vi-et để tính nhanh nghiệm của phương trình.