[Toán 11] Tổng hợp phép đối xứng tâm: Lý thuyết, bài tập chuẩn Bộ GD

Phép đối xứng tâm là một trong những phép biến hình hay của chương trình Hình học lớp 11. Tuy vậy, nó vẫn gây không ít khó khăn cho các bạn học sinh trong việc ứng dụng và giải toán. Bài viết này nhằm mục đích đem lại định nghĩa, tính chất và bài tập kèm lời giải rõ ràng, dễ hiểu để giúp các bạn vượt qua nội dung học này.

Phép đối xứng tâm là gì?

Cho điểm I, phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I qua thành M’ sao cho M’ đối xứng với M qua I (hay I chính là trung điểm thì được gọi là phép đối xứng tâm I.

Tâm đối xứng được ký hiệu là I

Ký hiệu

Công thức phép đối xứng tâm

Từ định nghĩa, ta có thể suy ra công thức như sau:

Biểu diễn ảnh qua phép đối xứng tâm

Cho ΔABC và điểm I. Hãy biểu diễn ảnh A’B’C’ của ABC qua phép đối xứng tâm.

***Chú ý:

Tính chất phép đối xứng tâm

Tính chất 1

***Lưu ý:

Qua 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự thì qua phép đối này I biến thành M’, N’, P’ tương ứng cũng thẳng hàng theo thứ tự đó.

Tính chất 2

• Bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm
• Chuyển thành một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
• Chuyển một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng với đoạn thẳng đó
• Chuyển một tam giác thành tam giác bằng tam giác ban đầu
• Biến một đường tròn thành một đường tròn khác có cùng bán kính

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x;y), gọi tọa điểm M'(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O, ta có:

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm bất kỳ

Gọi M'(x’;y’) là ảnh của M(x;y) trong mặt phẳng Oxy cho I(a;b), M(x;y), qua phép đối xứng tâm I thì ta có:

Xem thêm: [Toán 11] Phép tịnh tiến và dạng bài tập phép tịnh tiến kèm lời giải

Tâm đối xứng của một hình

Trong Hình học 11, điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua I biến H thành chính nó

⇒ Ta gọi H là hình có tâm đối xứng

Tâm đối xứng của một số hình phẳng

Một số dạng bài tập phép đối xứng tâm kèm lời giải chi tiết

Dạng 1: Tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng tấm

Dạng 2: Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm

Dạng 3: Tìm ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm

Bài tập và cách giải phép đối xứng tâm

Ví dụ 1: Cho A(-1;3), d: x – 2y +3 = 0. Tìm ảnh của điểm A và d qua phép đối xứng tâm O.

Giải

Ví dụ 2: Cho đường tròn (C): (x+2)² + (y-1)² = 1. Viết phương trình (C) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O(0;0)

Giải

Đường tròn (C) có tâm I(-2;1), bán kính R=1/

Gọi I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính (C’), ta có: R’ = R = 1

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: (x-2)² + (y+1)² = 1

Ví dụ 3: Cho I(2;-3), d: 3x + 2y -1 =0. Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Giải

Tổng kết

Trên đây là bài học về Phép đối xứng tâm mà congthuctoanlyhoa.com muốn gửi đến các bạn học sinh. Mong rằng nó đã giúp các bạn hiểu hơn cũng như nắm vững được lý thuyết, cách giải dạng bài tập này.