[Toán 12] Thế nào là khối đa diện? Tổng hợp ví dụ và tính chất

Khối đa diện là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán thi THPT Quốc gia, học sinh THPT cần nắm vững khi học để đạt thành tích tốt nhất. Bài viết này nhằm mục đích cung cấp và hệ thống lại các khái niệm và ví dụ giúp các bạn học sinh dễ dàng hiểu được và học tốt hơn.

Hình đa diện là gì?

Trước khi vào bài chính, ta hãy đi qua khái niệm về hình đa diện trước.

Đây là hình học gồm các đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện sau:

• (i) Với hai đa giác phân biệt chỉ có thể:
  • không có điểm chung, hoặc
  • có một đỉnh chung, hoặc
  • có một cạnh chung

Có nghĩa là, hình mà 2 đa giác mà không thuộc các trường hợp trên hoặc có nhiều hơn 1 trường hợp trong các trường hợp trên đều không phải hình đa diện.

Ví dụ:

Hình trên không phải một hình đa diện vì tam giác (xanh) và hình chữ nhật (đỏ) không thỏa mãn điều kiện “không có điểm chung”. Cụ thể, 2 đa giác này có 1 điểm chung nhưng điểm đó không phải đỉnh chung

• (ii) Mỗi cạnh của đa giác là cạnh của của đúng hai đa giác.

Hình trên không phải hình đa diện bởi có 1 cạnh màu đỏ là cạnh chung của 4 mặt.

Thật ra, ta đã biết qua một số hình đa diện quen thuộc trong Hình học 11 như: hình tứ diện, hình lăng trụ, hình chóp, hình hộp, hình lập phương, hình chóp cụt,…

Xem thêm: [Toán 12] Tổng hợp diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu 2022

Thế nào là khối đa diện?

Trong Hình học 12, chúng ta không chỉ có 1 mà đến 3 loại khối đa diện: thường, lồi và đều.

Định nghĩa

Ta có thể hiểu, khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

Ví dụ: Khối đa diện nếu được giới hạn bởi hình lăng trụ sẽ gọi là khối lăng trụ. Tương tự, nếu được giới hạn bởi hình chóp thì gọi là khối chóp,…

Đặc điểm, tính chất

• Tính chất 1: Cho khối tứ diện đều, ta có:

Đỉnh của một khối tứ diện đều khác là trọng tâm của các mặt

Trung điểm của mọi cạnh chính là các đỉnh của khối bát diện đều

• Tính chất 2: Cho khối lập phương, tâm các mặt của nó sẽ tạo thành 1 khối bát diện đều
• Tính chất 3: Cho khối bát diện đều, tâm các mặt của nó sẽ tạo thành một khối lập phương
• Tính chất 4: Hai đỉnh cua một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đó. Khi đó
  • Ba đường chéo giao nhau tại vị trí trung điểm của mỗi đường
  • Ba đường chéo vuông góc với nhau theo từng đôi một
  • Ba đường chéo bằng nhau
• Tính chất 5: Một khối phải có tối thiểu 4 mặt
• Tính chất 6: Hình đa diện có tối thiểu 6 cạnh
• Tính chất 7: Không tồn tại đa diện có 7 cạnh

Khối đa diện lồi là gì?

• Khối đa diện lồi được xác định bằng đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ thuộc khối đa diện. Nếu đoạn thẳng đó nằm hoàn toàn trên khối đa diện thì đó là đa diện lồi

Ví dụ: khối lăng trụ, khối chóp

• Ngược lại, trường hợp sau đây không phải đa diện lồi vì đoạn MN không thuộc trong khối đa diện:

Khối đa diện đều là gì?

Định nghĩa

Khối đa diện đều là trường hợp đa diện đặc biệt trong số các khối đa diện lồi. Để xác định, cần thỏa mãn 2 điều kiện sau:

(i) Mỗi mặt của khối đa diện là đa giác đều có p cạnh

(ii) Mỗi đỉnh đều là đỉnh chung của q mặt

Như vậy ta được khối đa diện đều loại {p;q}

Tổng cộng có bao nhiêu khối đa diện đều?

Có 5 khối đã được chứng minh và có đặc điểm như sau:

Xem thêm: [Toán 12] Tổng hợp công thức thể tích khối trụ các loại

Công thức tính khối đa diện

Cách phân chia và lắp ghép khối đa diện

Bài tập minh họa kèm cách giải khối đa diện

Các dạng bài tập thể tích khối đa diện

Dạng 1: Thể tích khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy

Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 3: Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với cạnh đáy

Bài tập nhận biết khối đa diện 

Tổng kết

Bài viết thuộc phân môn hình học lớp 11 Khối đa diện đã kết thúc tại đây. Công Thức Toán Lý Hóa mong rằng nó sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và rèn luyện thi cử sắp tới.