[Toán 12] Tổng hợp diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu 2022

Trong đời sống hằng ngày, ta dễ dàng bắt gặp những đồ vật có dạng mặt cầu hay khối cầu, ví dụ như quả bóng, Trái Đất,..đều là những khối cầu. Lấy nền tảng từ lớp 9, nội dung bài học hôm nay sẽ giới thiệu nâng cao hơn đến các bạn khái niệm về Diện tích mặt cầu và Thể tích khối cầu, song song là những bài tập minh họa kèm lời giải chi tiết để giúp các bạn chinh phục được bài học này.

Mặt cầu là gì? Sự khác nhau với khối cầu

Định nghĩa

Mặt cầu: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi r (r>0) được gọi là một mặt cầu tâm O bán kính r

• Đoạn thẳng nối 2 điểm nằm trên mặt cầu gọi là dây cung của mặt cầu
• Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính

• Cho mặt cầu S(O;r) và điểm A trong không gian
  • Nếu OA=r thì điểm A nằm trên mặt cầu
  • Nếu OA<r thì điểm A nằm trong mặt cầu
  • Nếu OA>r thì điểm A nằm ngoài mặt cầu

Khối cầu: Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;r) cùng với các điểm nằm bên trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r

Xem thêm: [Toán 12] Thế nào là khối đa diện? Tổng hợp ví dụ và tính chất

Tính chất

Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu  S(O;r) thì:

• Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu
• Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau
• Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu

Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O;r) tâm O bán kinh r và mặt phẳng (P), H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P).

Khi đó h=OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P)

• Nếu h=r thì (P) tiếp xúc mặt cầu

Ghi nhớ: Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.

• Nếu h>r thì (P) không có điểm chung với mặt cầu

• Nếu h<r thì (P) cắt mặt cầu S(O;r) theo giao tuyến là một đường tròn tâm H bán kính

Xem thêm: [Toán 12] Phương trình mặt phẳng kèm bài tập lời giải A-Z

Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S(O;r) và đường thẳng Δ. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O lên Δ, đặt h=OH. Ta có:

• Nếu h=r thì đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu tại H

Ghi nhớ: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là Δ⊥OH (bán kính) tại H.

• Nếu h<r, Δ cắt mặt cầu S(O;r) tại 2 điểm M, N, đoạn thẳng MN có độ dài

• Nếu h>r thì đường thẳng Δ không cắt mặt cầu

Xem thêm: [Toán 12] Phương trình đường thẳng trong không gian MỚI 2022

Đường kinh tuyến, đường vĩ tuyến là gì?

Trong Hình học 12, hay trong các chuyên ngành môn học khác, ta sẽ dễ dàng gặp các thuật ngữ này; vì vậy, ta nên lưu ý kỹ

• Đường kính tuyến là giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là trục
• Đường vĩ tuyến là giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến
• Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực

Công thức diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

• Diện tích mặt cầu: Smc=4πR²
• Thể tích khối cầu: V=(4/3)πR³

với R là bán kính

Bạn đang xem bài viết: [Toán 12] Tổng hợp diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu 2022

Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=3a, BC=4a, SA=12a và vuông góc với mặt đáy. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Giải:

Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a.

Tổng kết

Kết lại, diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu là những kiến thức quan trọng cần nắm trong chương trình lớp 12. Công Thức Toán Lý Hóa mong rằng bài viết này sẽ cung cấp và hỗ trợ các bạn học sinh vượt qua kỳ thi sắp tới.