[Toán 12] Tổng hợp diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu 2022

Bởi

Trong đời sống hằng ngày, ta dễ dàng bắt gặp những đồ vật có dạng mặt cầu hay khối cầu, ví dụ như quả bóng, Trái Đất,..đều là những khối cầu. Lấy nền tảng từ lớp 9, nội dung bài học hôm nay sẽ giới thiệu nâng cao hơn đến các bạn khái niệm về Diện tích mặt cầu và Thể tích khối cầu, song song là những bài tập minh họa kèm lời giải chi tiết để giúp các bạn chinh phục được bài học này.

Mặt cầu là gì?

Mặt cầu là quỹ tích những điểm cách đều điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi r trong không gian 3 chiều. Điểm O gọi là tâm và khoảng cách r gọi là bán kính của mặt cầu.

Khối cầu là gì?

Khối cầu là tập hợp những điểm nằm trong mặt cầu và mặt cầu được gọi là hình cầu hay khối cầu có tâm O bán kính là r = OA.

Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Công thức tính diện tích mặt cầu

Diện tích mặt cầu bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn, bằng bốn lần hằng số Pi nhân với bình phương bán kính của hình cầu.

Công thức tính diện tích mặt cầu

Công thức tính thể tích hình cầu:

Thể tích hình cầu hay còn được gọi là thể tích khối cầu được tính bằng ba phần tư của Pi nhân với lập phương bán kính hình cầu.

Công thức tính thể tích hình cầu

Trong đó:

  • S là diện tích mặt cầu
  • V là thể tích hình cầu
  • r là bán kính mặt cầu/hình cầu
  • d là bánh kính mặt cầu/hình cầu

Công thức tính bán kính mặt cầu

Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

R=\sqrt{R_d^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2}

  • Rd là bán kính ngoại tiếp đáy.
  • h là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Giải: Ta có

R_d=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{AB^{2\ }+BC^2}}{2}=\ \frac{\sqrt{9a^{2\ }+16a^2}}{2}=\frac{5a}{2}

Vậy R=\sqrt{R_d^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2}=\ \sqrt{\left(\frac{5a}{2}\right)^2+\left(\frac{12a}{2}\right)^2}=\frac{13a}{2}

Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

Khối từ diện vuông OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc có:

R=\sqrt{\frac{OA^2+OB^2+OC^2}{2}}

Ví dụ:

Khối tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và có bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng \sqrt{3}. Thể tích lớn nhất của khối tứ diện OABC

Giải: Ta có

R=\frac{\sqrt{OA^2+OB^2+OC^2}}{2}=\sqrt{3\ }=>\ OA^2+OB^2+OC^2\ =12

Mặt khác ta có:

V_{OABC}=\frac{1}{6}OA.OB.OC

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

12=OA^2\ +\ OB^2\ +\ OC^2\ \ge\ 3\sqrt[3]{OA^2.OB^2.OC^2}=>\ OA.OB.OC\le8

V_{OABC}\le\frac{8}{6}=\frac{4}{3}

Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp

R=\sqrt{R_d^2\ +\left(\frac{h}{2}\right)^2}

Trong đó:

  • Rd là bán kính ngoại tiếp đáy
  • h là độ dài cạnh bên.

Ví dụ 1: Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a=\frac{\sqrt{3}R}{3}

B. a=2R

C. a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}

D. a=2\sqrt{3}R

 

Giải: Ta có

R=\sqrt{R_d^2+\left(\frac{h}{2}\right)^{2\ }}=\sqrt{\left(\frac{a}{^{\sqrt{2}}}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}\Rightarrow \ a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}

Vậy, đáp án là C.

Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng

R=\sqrt{R_d^2\ +\left(\frac{h}{2}\right)^2}

Khối tứ diện (H1) có các đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng (H2), khi đó:

R_{\left(H_1\right)}=R_{\left(H_2\right)}=\sqrt{R_d^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2}

Công thức tính bán kính mặt cầu cho khối chóp có mặt bên vuông góc đáy

R=\sqrt{R_d^2+\left(\frac{a}{2}\cot x\right)^2}

Trong đó R, d là bán kính ngoại tiếp đáy; a, x tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy, góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống đáy.

Hoặc có thể sử dụng công thức

R=\sqrt{R_d^2+R_b^2+\frac{a^2}{4}}

Trong đó: Rb là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và a tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.

Ví dụ: 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAD đều cạnh √2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. R=\frac{a\sqrt{10}}{2}

B. R=\frac{a\sqrt{42}}{2}

R=\frac{a\sqrt{6}}{4}

R=\sqrt{2}a

Giải: Ta có

R=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{3}}\right)^2}=\frac{a\sqrt{42}}{6}

Vậy đáp án đúng là B.

Ví dụ về tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Bài 1: Cho hình tròn có chu vi là 31,4 cm. Hãy tính thể tích hình cầu có bán kính bằng bán kính của hình tròn vừa cho.

Giải:

Chu vi hình tròn C = 2πr = 31.4 cm

=> Bán kính r = C/2π = 5 cm

Thể tích khối cầu đã cho là:

V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.(5)³ = 523,3 cm³

Bài 2: Tính thể tích khối cầu có đường kính d = 4 cm.

Giải:

Bán kính r = d/2 = 2 cm

Thể tích khối cầu là:

V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.(2)³ = 33,49 cm³

Bài 3:

Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó. Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra bằng bao nhiêu?

Giải: Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó ta được khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a.

Thể tích khối cầu là:

V=\frac{4}{3}\pi^{^{^{^{^{^{ }}}}}}R^3\ =\ \frac{4}{3}\pi\left(2a\right)^3\ =\ \frac{32}{3}\pi a^3

Bài 4:

Mặt cầu có bán kính R√3 có diện tích là:

A. 4√3πR2

B. 4πR2

C. 6πR2

D. 12πR2

Giải: Áp dụng công thức: S = 4πR2

Diện tích mặt cầu có bán kính R√3 là: S = 4π(R√3)2 = 12πR2

Vậy đáp án là D.

Tổng kết

Kết lại, diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu là những kiến thức quan trọng cần nắm trong chương trình lớp 12. Công Thức Toán Lý Hóa mong rằng bài viết này sẽ cung cấp và hỗ trợ các bạn học sinh vượt qua kỳ thi sắp tới.

Viết một bình luận