Hình vuông là bài cuối cùng trong Chương 1: Tứ giác của phân môn hình học lớp 8. Trong bài này, các bạn học sinh sẽ được học qua định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết cùng các công thức tính chu vi, diện tích hình vuông và các bài tập minh họa kèm lời giải chi tiết.
Tổng hợp lý thuyết về hình vuông
Định nghĩa
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.
Từ đó, ta suy ra được hình vuông:
- Là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau
- Là hình thoi có một góc vuông
Tính chất
Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
Tâm đối xứng và trục đối xứng hình vuông
- Hình vuông có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo
- Hình vuông có bốn trục đối xứng là hai đường chéo và hai đường thẳng nối các trung điểm của các cạnh đối diện
Dấu hiệu nhận biết hình vuông
Hình vuông là hình chữ nhật có:
- hai cạnh kề bằng nhau.
- hai đường chéo vuông góc với nhau.
- một đường chéo là đường phân giác một góc.
Hình vuông là hình thoi có:
- một góc vuông.
- hai đường chéo bằng nhau.
Công thức chu vi hình vuông
Chu vi = cạnh x 4
Ví dụ 1:Tính chu vi hình vuông ABCD có cạnh dài 4 cm.
Giải:
Chu vi hình vuông ABCD là: 4 x 4 = 16 (cm)
⇒ P = 16 cm
Ví dụ 2:Tính chu vi hình vuông MNPQ biết độ dài cạnh bằng 6 cm.
Giải:
Chu vi hình vuông MNPQ là: 6 x 4 = 24 (cm)
⇒ P = 32 cm.
Công thức diện tích hình vuông
Diện tích = cạnh x cạnh
Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 7cm. Hãy tính diện tích hình vuông đã cho.
Giải:
Diện tích hình vuông ABCD là: 7 x 7 = 49 (cm²)
⇒ S = 49cm²
Ví dụ 2:Cho hình vuông ABCD có cạnh có độ dài là 5cm. Tính diện tích hình vuông đã cho trên.
Giải:
Diện tích hình vuông ABCD là: 5 x 5 = 25 (cm²)
⇒ S = 25 cm²
Bài tập minh họa
Có tổng cộng 3 dạng bài trong hình vuông, thuộc phân môn Hình học 8.
Chứng minh tứ giác là hình vuông
Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình vuông.
Ví dụ: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.
Lời giải: Để chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của các hình vuông.
Gọi I là trung điểm của cạnh AB, J là trung điểm của cạnh BC, K là trung điểm của cạnh CD và L là trung điểm của cạnh DA.
Ta biết AE = BF = CG = DH, và vì I, J, K, và L lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, nên ta có:
- AE = EI (vì I là trung điểm của AB).
- BF = FJ (vì J là trung điểm của BC).
- CG = GK (vì K là trung điểm của CD).
- DH = HL (vì L là trung điểm của DA).
Chúng ta đã có bốn tam giác đều: AEI, BFJ, CGK và DHL (vì cạnh đôi của hình vuông là tam giác đều).
Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng tam giác EFG là tam giác đều. Để làm điều này, ta cần chứng minh rằng EF = FG và góc EFG là góc vuông.
Trong tam giác AEI và BFJ, chúng ta có:
AE = EI BF = FJ
Nhưng chúng ta cũng đã biết rằng AE = BF. Vậy, ta có:
AE = EI = BF = FJ
Do đó, tam giác EFG và tam giác IJF là hai tam giác đều, với cạnh EF = FJ, FG = GI và góc EFG = góc IJF = 60 độ.
Tương tự, chúng ta cũng có tam giác GKH và tam giác LHD là hai tam giác đều, với cạnh GH = HL, GK = KH và góc GHK = góc HLK = 60 độ.
Bây giờ, ta đã chứng minh rằng EFGH là tứ giác với bốn góc bằng 90 độ (do EFGH có hai đường chéo cắt nhau tại góc vuông) và cạnh bằng nhau (EF = FG = GH = HE).
Vậy EFGH là một hình vuông, và điều này hoàn thành chứng minh.
Vận dụng tính chất của hình vuông để chứng minh các tính chất hình học
Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình vuông.
Ví dụ: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD, DC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE = DF. Chứng minh:
a) Hai tam giác ADF và BAE bằng nhau;
b) BE vuông góc với AF.
Lời giải:
a) Chứng minh hai tam giác ADF và BAE bằng nhau:
Trước hết, ta sẽ chứng minh rằng các góc tương ứng của hai tam giác ADF và BAE bằng nhau.
Góc ADF = Góc BAE (vì AE = DF, và góc ở trên cùng của hình vuông là góc vuông, vì vậy tổng các góc bên trong của tam giác BAE là 180 độ).
AD = AB (vì hình vuông có cạnh bằng nhau)
DF = AE (Đã cho)
Vậy, theo nguyên lý góc – cạnh – góc (các góc tương ứng bằng nhau và cạnh tương ứng bằng nhau), hai tam giác ADF và BAE là bằng nhau.
b) Chứng minh BE vuông góc với AF:
Vì hai tam giác ADF và BAE bằng nhau, ta biết góc ADF = góc BAE. Nhưng vì AD = AB (vì hình vuông có các cạnh bằng nhau), hai tam giác ADF và BAE cũng là tam giác đều.
Do đó, góc ADF = 90 độ (vì trong tam giác đều, tất cả các góc bằng 60 độ, và tổng các góc bên trong tam giác đều là 180 độ).
Vậy, góc BAE cũng là góc vuông, và nó chính là góc giữa BE và AF.
Chúng ta đã chứng minh được rằng BE vuông góc với AF.
Tìm điều kiện để tứ giác là hình vuông
Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình vuông.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là một điểm thuộc cạnh BC. Qua M vẽ các đường thẳng song song với AC, AB chúng cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và F.
a) Tứ giác AFME là hình gì?
b) Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC để tứ giác AFME là hình vuông.
Lời giải:
Tổng kết
Qua bài học Hình vuông này, Công Thức Toán Lý Hóa mong muốn gửi đến các bạn học sinh hệ thống kiến thức cơ bản này cũng như nhắn nhủ lời chúc thành công đến các bạn ở kỳ thi sắp tới. Hãy cố gắng luyện tập hằng ngày để có thể ghi nhớ được các công thức và dạng bài tập trong chương 1 này dễ dàng hơn.