Cấp số cộng và cấp số nhân là những dãy số có tính chất đặc biệt mà chúng ta được học trong chương trình lớp 11. Và hôm nay chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các dạng dãy số mới này nhé.
Lý thuyết cấp số cộng
Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số hằng số d.
u1 được gọi là số hạng đầu.
d được gọi là công sai.
∀n ∈ N∗, Un+1=Un+d
d = 0 => Cấp số cộng là một dãy số không đổi.
Ví dụ: Dãy số 2; 4; 6; 8; 10 là một cấp số cộng vì:
4 = 2 + 2
6 = 4 + 2
8 = 6 + 2
10 = 8 + 2
=> Đây là cấp số cộng có công sai d = 2 và số hạng đầu u1 = 2
Tính chất
Cấp số cộng có các tính chất sau đây:
- Số hạng thứ n được tính bởi công thức un = u1 + ( n – 1)d
- Ba số hạng uk, uk+1, uk+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi
uk+1 = 1/2(uk + uk+2)
- Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức:
Sn = u1 + u2 + … + un = n/1(u1 + un) = n/2[2u1 + (n-1)d]
Dạng toán về cấp số cộng
Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng
Phương pháp
- Dãy số (un) là một cấp số cộng ⟺ un+1 – un = d không phụ thuộc vào n và d là công sai
- Ba số a,b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng ⟺ a + c = 2b
- Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu u1 và công sai d.
Chứng minh tính chất của cấp số cộng
Phương pháp: Đối với dạng bài này ta sử dụng
- Công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.
- Tính chất của cấp số cộng a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng ⟺ a + c = 2b
Lý thuyết cấp số nhân
Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó, nếu mọi số hạng ( trừ số hạng đầu) đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q.
u1 được gọi là số hạng đầu.
q được gọi là công bội.
Ví dụ:
Dãy số 2;4;8 là một cấp số nhân với công bội q = 2
Dãy số 3;9;27 là một cấp số nhân với công bội q = 3
Tính chất
Trong chương trình Đại số lớp 11, Cấp số nhân có các tính chất sau đây:
- Số hạng thứ n được tính bởi công thức:
un = u1qn-1
- Ba số hạng uk.uk+1, uk+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi
u2k+1 = uk.uk+2
- Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức:
Sn = u1 + u2 + … + un = u1 (1-qn/1-q)
Dạng toán về cấp số nhân
Xác định cấp số và yếu tố của cấp số nhân
Phương pháp
- Dãy số (un) là một cấp số nhân ⟺ (un+1)/un = q không phụ thuộc vào n và q
- Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân ⟺ ac = b2
- Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu u1 và công bội q.
Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân
Phương pháp: a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ⟺ ac = b2
Ví dụ:
Tìm x biết 1, x2, 6 – x2 lập thành cấp số nhân
=> Ta có 1, x2, 6 – x2 lập thành cấp số nhân ⟺ x4 = 6 – x2 ⟺ x = ±√2
Tổng kết
Như vậy, congthuctoanlyhoa.com vừa điểm qua hai nội dung quan trọng đó là Cấp số cộng và Cấp số nhân. Hy vọng các bạn đã nắm được kiến thức và có thể vận dụng để giải các bài tập khác nhau liên quan đến bài học này. Chúc các bạn học tập thật tốt!