Tam thức bậc 2 là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 10, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi. Bài viết dưới đây giúp bạn củng cố và bổ sung thêm kiến thức về tam thức bậc hai và dấu của tam thức bậc hai.
Tam thức bậc hai là gì?
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng
f(x) = ax2 + bx + c,
trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0.
Ví dụ: f(x)= 3x2 + 5x + 2 là tam thức bậc hai
f(x)= 5x(x2+ 2x + 9) không là tam thức bậc hai
Ta có nghiệm của tam thức bậc hai là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0.
Dấu của tam thức bậc hai
Dấu của tam thức bậc hai tổng quát
Dấu của tam thức bậc 2 tổng quát được thể hiện qua bảng sau:
Ta có định lý là: cho f(x)=ax2 + bx + c , Δ= b2 – 4ac, trong đó có các quy tắc sau:
Nếu như Δ<0 thì f(x) sẽ luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R
Nếu như Δ = 0 thì f(x) sẽ luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x= -b/2a
Nếu như Δ<0 thì f(x) sẽ luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc là x> x2, f(x) trái dấu với hệ số a khi x1<x<x2, trong đó thì x1, x2 là 2 nghiệm của f(x).
Định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai
Với định lý thuận về dấu của tam thức bậc 2 là “Trong trái, ngoài cùng”
Có: f(x)=ax2 + bx + c (a≠0)
Gọi x1 , x2 là nghiệm của f(x)=0 thì: S=x1+x2=−b/a;P=x1.x2=c/a
Với 3 trường hợp: Δ<0;Δ=0;Δ>0
Định lí đảo về dấu
Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c(a≠0). Nếu có số α thỏa mãn af(α)<0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và x1<α<x2
Cách xét dấu của tam thức bậc hai
- Tìm nghiệm của tam thức
- Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a
- Dựa vào bảng xét dấu và kết luận
Bài tập về dấu của tam thức bậc hai
Bài tập về dấu của tam thức bậc hai thuộc chương trình Đại số 10 có 2 dạng chính sau đây:
Dạng 1: Dạng xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai
Dạng bài tập thứ 1 mà các bạn cần lưu ý trong chuyên đề xét dấu của tam thức bậc 2 đó chính là xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc 2. Phương pháp giải dạng toán này sẽ dựa vào định lý dấu của tam thức bậc 2 để xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc 2. Cụ thể về cách thực hiện như sau:
- Đối với đa thức bậc cao P(x) thì ta làm như sau:
Tiến hành phân tích đa thức P(x) thành tích của tam thức bậc 2 hoặc có cả nhị thức của tam thức bậc nhất.
Lập bảng xét dấu của P(x)
- Đối với phân thức P(x)/Q(x), trong đó P(x)/Q(x) là các đa thức ta sẽ làm như sau:
Phân tích đa thức P(x), Q(x) thành tích của các tam thức bậc 2 hoặc có cả nhị thức bậc nhất
Tiến hành lập bảng xét dấu của P(x)/Q(x)
Dạng 2: Dạng bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai
Đối với dạng này sẽ phức tạp hơn so với dạng 1. Theo dõi cách giải dựa vào ví dụ cụ thể sau:
Chứng minh rằng đối với mọi giá trị thì:
phương trình mx2 + (3m+2)x + 1 = 0 luôn có nghiệm
Hướng dẫn
Ta có:
Với m=0 thì phương trình sẽ trở thành -2x + 1 = 0 có x=1/2 và suy ra phương trình có nghiệm.
Với m khác 0, tác có Δ = (3m+2)2 – 4m = 9m2 + 8m + 4
Bới tam thức 9m2 + 8m + 4 có am = 9 >0 , Δ’m = -20 <0 nên 9m2 + 8m + 4 > 0 với mọi m. Do đó, phương trình đã cho sẽ luôn có nghiệm với mọi m
Tổng kết
Hi vọng thông qua bài viết trên của congthuctoanlyhoa.com, bạn đã có thể nắm được những kiến thức lý thuyết cũng như bài tập của phần dấu của tam thức bậc 2.