[Toán 8] Nhân đơn thức với đa thức kèm giải bài tập chuẩn SGK Bộ GD

Dạng toán nhân đơn thức với đa thức là một dạng căn bản nhưng quan trọng trong chương trình Đại số 8. Bài viết này bao gồm cách nhân đơn thức với đa thức, các dạng bài tập kèm lời giải chi tiết. Mời các bạn học sinh cùng xem qua với congthuctoanlyhoa nha.

Cách nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với từng số hạng của đa thức rồi cộng các tích lại với nhau:

Với mọi x,y ≠ 0; m,n ∈ N, m ≥ n thì:

X^m.Xⁿ = X^m+n

X^m.Y^m= (XY)^m

Lỗi hay gặp phải khi nhân đơn thức với đa thức là nhân sai. Vì vậy cần chú ý:

• Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số thì ta giữ nguyên cơ số, cộng các số mũ
• Nhân hai số khác dấu thì tích luôn là số âm

Bài minh họa nhân đơn thức với đa thức

Ví dụ 1:

Làm tính nhân:

2x².(3x³ + 2x)

= 2x².3x³ + 2x².2x

= 6x⁵ + 4x³

Ví dụ 2:

3x.(x² + 2x + 2)

= 3x.x² + 3x.2x + 3x.2

= 3x³ + 6x² + 6x

Ví dụ 3:

Các dạng toán cơ bản của nhân đơn thức với đa thức

Trong chương trình Đại số 8, ta sẽ có 3 dạng sau cho nhân đơn thức với đa thức:

Dạng 1: Rút gọn biểu thức sử dụng phép nhân đa thức với đơn thức

Phương pháp:

– Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức để phá ngoặc và kết hợp với các phép toán liên quan đến lũy thừa để rút gọn biểu thứ.

Ví dụ: 

x²(x + y) + 2x(x²+ y)

= x².x + x².y + 2x.x² + 2x.y

= x³ + x².y + 2x³ + 2xy

= 3x³ + x²y + 2xy

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức để rút gọn biểu thức đã cho sau đó thay các giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn.

Ví dụ:

Thực hiện phép tính rồi tính giá trị biểu thức:

A = 3x.(2x² – 1) tại x = 1

Ta có:

A = 3x.(2x² – 1)

= 3x.2x² – 3x.1

= 6x³ – 3x

Tại x = 1 thay vào biểu thức A ta được:

A = 6.1³  – 3.1 = 6 – 3 =3

Dạng 3: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đơn thức để rút gọn biểu thức và kết quả thu được sau khi rút gọn không còn chứa biến.

Ví dụ: 

Chứng tỏ rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x, biết:

A = x.(2x³ + x + 2) – 2x²(x² + 1) + x² – 2x + 1

A = x.(2x³ + x + 2) – 2x²(x² + 1) + x² – 2x + 1

= x.2x³ + x.x + x.2 – 2x².x² – 2x².1 + x² – 2x + 1

= (2x⁴ + x² + 2x) – (2x⁴ + 2x²) + x² – 2x + 1

= 2x⁴ + x² + 2x – 2x⁴ – 2x² + x² – 2x + 1

= (2x⁴ – 2x⁴) + (x² – 2x² + x²) + (2x – 2x) + 1

= 1

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Dạng 4: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp: 

– B1: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để phá ngoặc

– B2: Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau lại và rút gọn biểu thức ở hai vế để tìm x.

Ví dụ: 

Tìm x, biết:

2x(6x – 2x²) + 3x²(x – 4) = 8

⇔ 2x.6x – 2x.2x² + 3x².x – 3x².4 = 8

⇔ 12x² – 4x³ + 3x³ – 12x² = 8

⇔ (12x² – 12x²) + (3x³ – 4x³) = 8

⇔ -x³ = 8

⇔ x³ = -8

⇔ x =-2

Vậy x = -2

Bài tập nhân đơn thức với đa thức

Bài 1/5 SGK Toán 8 tập 1: Làm phép tính nhân.

Kiến thức áp dụng

• Nếu muốn nhân một đơn thức cho một đa thức, ta lấy đơn thức rồi nhân với từng hạng tử của đa thức, lấy các kết quả rồi cộng các tích với nhau.
• Nhớ lại: xm.xn = xm + n.

Bài 2/5 SGK Toán 8 tập 1: Thực hiện phép tính giá trị của biểu thức sau:

a) x(x – y) + y(x + y) tại x=-6, y=8

b) x(x² – y) -x²(x + y) + y(x²- x) tại x=½ và y=-100

Lời giải:

a) x(x – y) + y(x + y)

= x.x – x.y + y.x + y.y

= x² – xy + xy + y²

= x² + y².

Tại x = –6 ; y = 8, giá trị biểu thức bằng : (–6)² + 8² = 36 + 64 = 100.

b) x.(x² – y) – x².(x + y) + y.(x² – x)

= x.x² – x.y – (x².x + x².y) + y.x² – y.x

= x³ – xy – x³ – x²y + x²y – xy

= (x³ – x³) + (x²y – x²y) – xy – xy

= –2xy

Tại x=½ và y=-100, giá trị biểu thức bằng: -2.(½).(-100) = 100

Kiến thức áp dụng

Nếu muốn nhân một đơn thức cho một đa thức, ta lấy đơn thức rồi nhân với từng hạng tử của đa thức, lấy các kết quả rồi cộng các tích với nhau.

Bài 3/5 SGK Toán 8 tập 1: Tìm nghiệm x

a) 36x² – 12x – 9x(4x – 3) = 30

b) x(5 – 2x) + 2x(x – 1) = 15

Lời giải

a) 36x² – 12x – 9x(4x – 3) = 30

⇔ 3x(12x – 4) – 9x(4x – 3) = 30

⇔ 3x.12x – 3x.4 – (9x.4x – 9x.3) = 30

⇔ 36x² – 12x – 36x² + 27x = 30

⇔ (36x² – 36x²) + (27x – 12x) = 30

⇔ 15x = 30 ⇔ x = 2

Vậy x = 2.

b) x(5 – 2x) + 2x(x – 1) = 15

⇔ x(5 – 2x) + 2x(x – 1) = 15

⇔ (x.5 – x.2x) + (2x.x – 2x.1) = 15

⇔ 5x – 2x² + 2x² – 2x = 15

⇔ (2x² – 2x²) + (5x – 2x) = 15

⇔ 3x = 15 ⇔ x = 5.

Vậy x = 5.

Kiến thức áp dụng

Nếu muốn nhân một đơn thức cho một đa thức, ta lấy đơn thức rồi nhân với từng hạng tử của đa thức, lấy các kết quả rồi cộng các tích với nhau.

Bài 4/5 SGK Toán 8 tập 1 – ĐỐ 

Đoán tuổi.

Bạn hãy lấy tuổi của mình:

– Cộng thêm 5.

– Tổng được bao nhiêu đem nhân với 2.

– Sau đó lấy kết quả trên lại cộng với 10.

– Tiếp theo nhân kết quả vừa tìm được ở trên với 5.

– Cuối cùng đọc kết quả sau khi đã trừ đi 100.

Tôi sẽ đoán được tuổi của bạn. Giải thích tại sao.

Lời giải:

Giả sử tuổi bạn là x. Đem tuổi của mình:

• Cộng thêm 5 ⇒ x + 5
• Được bao nhiêu đem nhân với 2 ⇒ (x + 5).2
• Lấy kết quả trên cộng với 10 ⇒ (x + 5).2 + 10
• Nhân kết quả vừa tìm được với 5 ⇒ [(x + 5).2 + 10].5
• Đọc kết quả cuối cùng sau khi đã trừ đi 100 ⇒ [(x + 5).2 + 10].5 – 100

Rút gọn biểu thức trên :

[(x + 5).2 + 10].5 – 100

= (x.2 + 5.2 + 10).5 – 100

= (2x + 20).5 – 100

= 2x.5 + 20.5 – 100

= 10x + 100 – 100

= 10x

Vậy kết quả cuối cùng sẽ là 10 lần với số thực. VÌ vậy ta hãy lấy kết quả cuối cùng sau đó chia cho 10 là ra số tuổi thực cần tìm.

Tổng kết

Công Thức Toán Lý Hóa gửi đến các bạn bài học về nhân đơn thức với đa thức chi tiết kèm bài giải sau đây. Hy vọng các bạn lưu ý và học thật kỹ các dạng bài tập cũng như cố gắng luyện tập mỗi ngày để có thể ghi nhớ thật tốt. Hẹn gặp bạn ở bài nhân đa thức với đa thức sau.