[Toán 10] Phương trình đường thẳng: công thức, bài tập, giải đáp chi tiết

Trong loạt bài Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng, bài mở đầu sẽ là Phương trình đường thẳng. Bài viết này sẽ đưa đến định nghĩa chi tiết, cách viết phương trình, góc giữa hai đường thẳng cùng các dạng bài kèm lời giải để giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn nội dung này.

Lý thuyết về phương trình đường thẳng

Các vectơ của phương trình đường thẳng

• Vectơ chỉ phương

Liên hệ giữa VTCP và hệ số góc của đường thẳng

• Vectơ pháp tuyến

Nhận xét

Nếu đường thẳng Δ có phương trình là ax + by + c = 0 thì có:

• VTPT: n = (a;b)
• VTCP: u = (-b;a)

Tổng quát

Phương trình Δ:  ax + by + c = 0, a² + b² ≠ 0 được gọi là phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng.

(a và b không đồng thời bằng 0)

Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.

• Δ: ax + c = 0 (a ≠ 0) nên Δ song song hoặc trùng với Oy.
• Δ: by + c = 0 (a ≠ 0) nên Δ song song hoặc trùng với Ox.
• Δ: ax + by = 0 (a² + b² ≠ 0) nên Δ đi qua gốc tọa độ.

Tham số

Các loại phương trình bên cạnh

Đoạn chắn

Đường thẳng cắt Ox và Oy lần lượt tại 2 điểm A(a;0) và B(0;b) có phương trình đoạn chắn là

Chính tắc

Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua M0(x0;y0) và có VTCP u=(u1;u2) là:

với u1, u2 ≠ 0.

Đường thẳng đi qua 2 điểm

Hệ số góc

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng

Sau đây là các công thức cần lưu ý của góc giữa 2 đường thẳng:

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Xem thêm:

[Toán 10] Phương trình đường tròn: công thức kèm lời giải chuẩn Bộ GD

[Toán 10] Lý thuyết phương trình đường elip CHUẨN BỘ GD 2022

Phương trình đường thẳng trong không gian

Dạng tham số

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và nhận vectơ u = (u1;u2;u3) làm VTCP. Khi đó phương trình tham số của d là:

với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R, ta được một điểm thuộc đường thẳng

Dạng chính tắc

Nếu cả u1, u2 và u3 đều khác 0, từ phương trình tham số, ta khử tham số t thì được phương trình chính tắc sau:

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Gọi M(x;y;z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x’;y’;z’) là một điểm nằm trên (d’). Ta có:

Các dạng bài tập phương trình đường thẳng

Tuy nhiều lý thuyết, nhưng bài học Phương trình đường thẳng trong chương trình Hình học 10 sẽ chia làm các 4 dạng cơ bản sau:

Viết phương trình tham số của đường thẳng

Để viết phương trình tham số của đường thẳng Δ, ta thực hiện các bước như sau:

Ví dụ: Đường thẳng đi qua hai điểm A(3;-7) và B(1;-7) có phương trình tham số là:

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng Δ, ta thực hiện các bước sau:

***Lưu ý:

• Nếu đường thẳng Δ1 cùng phương với đường thẳng Δ2: ax + by + c = 0 thì Δ1 có PTTQ là: ax + by + c’ = 0.
• Nếu đường thẳng Δ1 vuông góc với đường thẳng Δ2: ax + by + c = 0 thì Δ1 có PTTQ là: -bx + ay + c’ = 0.

Ví dụ: Đường thẳng đi qua A(1;2), nhận vectơ n = (1;-2) làm VTPT có phương trình là

A. x – 2y + 1 = 0

B. 2x + y = 0

C. x – 2y – 5 = 0

D. x – 2y + 5 = 0

Lời giải

Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và nhận vectơ n = (1;-2) làm VTPT

⇒ Phương trình đường thẳng (d): 1(x-1) – 2(y+2) = 0 hay x – 2y – 5 = 0

Chọn D.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Tổng kết

Qua bài viết trên, Công Thức Toán Lý Hóa mong rằng các bạn học sinh đã hiểu hơn về Phương trình đường thẳng là gì và các công thức liên quan của nó. Chúc các bạn học tập tốt và đạt được thành tích cao trong bài học này.