[Toán 10] Lý thuyết phương trình đường elip CHUẨN BỘ GD 2022

Trong bài học này, ta sẽ được tìm hiểu qua khái niệm thế nào là Phương trình đường elip, bao gồm các phần nhỏ như phương trình chính tắc của đường elip, hình dạng một elip ra sao, các dạng bài của nó và liên hệ giữa đường tròn và đường elip. Đây cũng là dạng phương trình hình học cuối cùng trong chương trình lớp 10.

Phương trình đường elip là gì?

Cho 2 điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a > F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm F1 và F2 là một số không đổi 2a

Phương trình chính tắc của phương trình đường elip

Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi MF1+MF2=2a.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1=(-c;0) và F2=(c;0). Khí đó phương trình chính tắc của elip là:

trong đó b²=a²-c²

Các thành phần của phương trình đường elip (E)

• Hai tiêu điểm: F1(-c;0), F2(c;0)
• Bốn đỉnh: A1(-a;0), A2(a;0), B1(0;-b), B2(0;b)
• Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a
• Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b
• Tiêu cự: F1F2 = 2c

Hình dạng của elip

• (E) có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ O
• Các A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip
• Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ của elip
• Mọi điểm của elip (E) ngoại trừ bốn đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = ± a, y = ± b ⇒ Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.

Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

Từ hệ thức b²=a²-c², ta thấy nếu tiêu cự càng nhỏ thì b càng gần a, tức là trục nhỏ của elip càng gần trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.

Cho đường tròn (C) có phương trình x²+y²=a²

Xem thêm

[Toán 10] Phương trình đường thẳng: công thức, bài tập, giải đáp chi tiết 2022

[Toán 10] Phương trình đường tròn: công thức kèm lời giải chuẩn Bộ GD 2022

Các dạng bài tập phương trình đường elip

Tương tự như các bài phương trình trước trong Hình học 10, đây là các dạng bài tập phương trình đường elip cơ bản mà các bạn học sinh nên học kỹ để có kiến thức vững.

Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác đinh elip đó

Phương pháp

• Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của elip
• Lập phương trình chính tắc của elip theo công thức:

Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của elip (E) các trong trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn = 10, tiêu cự = 6

b) Một tiêu điểm là điểm (-√3;0) và (1;.√3/2) nằm trên elip

Giải

a) Ta có 2a = 10 ⇒ a=5, 2c=6 ⇒ c=3

b²=a²-c²=25 – 9=16.

Vậy phương trình chính tắc của (E) có dạng:

b) Phương trình chính tắc của (E) có dạng:

Vì (E) có một tiêu điểm F1(-√3;0) nên c=√3. Ta có:

Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong các trường hợp sau

a) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3;0) và một tiêu điểm là điểm (-2;0)

b) (e) đi qua hai điểm M(0;1) và N(1;√3/2)

Giải

a) Ta có a=3, c=2 ⇒ b²=a²-c²=9 – 4=5

Vậy phương trình chính tắc của elip là

b) Phương trình chính tắc của (E) có dạng:

Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình chính tắc của elip đó

Phương pháp

(h.3.7)

Ví dụ 1: Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh và vẽ phương trình đường elip (E)

Giải

Ví dụ 2: Cho phương trình đường elip (E) sau

Chứng minh điểm M di động trên một elip

Phương pháp

Để chứng tỏ điểm M di động trên một elip ta có hai cách (h.3.9):

• Cách 1 : Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1, F2 là một hằng số 2a (F1F2<2a). Khi đó M di động trên elip (E) có hai tiêu điểm F1, F2 và trục lớn là 2a.
• Cách 2 : Chứng minh trong mặt phẳng toạ độ Oxy điểm M(x ; y) có toạ độ thoả mãn phương trình

Tổng kết

Đây là hệ thống kiến thức của bài học phương trình đường elip đầy đủ từ congthuctoanlyhoa.com. Mong rằng bài viết này có thể giúp cho Quý thầy cô cùng các bạn học sinh có kiến thức bổ sung để công tác tốt hơn trong dạy và học phân môn Hình học 10.