[Toán 9] Hiểu rõ phương trình bậc nhất hai ẩn kèm cách giải

Trong bài viết này, ta sẽ cùng tìm hiểu qua thế nào phương trình bậc nhất hai ẩn, cách giải dạng toán này kèm bài tập có lời giải chi tiết. Mời các bạn học sinh cùng xem qua.

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Dạng của phương trình

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng:

ax + by = c

a, b, và c là số đã biết (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0).

Ví dụ: Các phương trình bậc nhất hai ẩn

2x – y = 1; -3x + 5y = 0;

0x + 2y = 4; -x + 0y = 5.

Xem thêm: [Toán 9] Hàm số bậc nhất là gì? Lý thuyết và cách tính hàm số bậc nhất

Nghiệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong phương trình ax + by = c (1), nếu giá trị cúa vế trái x = x0 và y = y0 bằng vế phải thì cặp số (x0 ;y0) được gọi là một nghiệm của phương trình.

Ta có thể nói phương trình (1) có một nghiệm là (x0 ;y0). 

Ví dụ: x – 2y = 0 

Khi x = 2 thì y = 1, ta nói cặp số (2;1) là một nghiệm của phương trình.

(không gọi là một cặp nghiệm)

Hệ trục tọa độ Oxy của phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm (x0;y0) của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x0 ;y0).

Mặt phẳng tọa độ Oxy cùng 3 nghiệm M(2;3), N(3;2), và P(0;-3).

Tập nghiệm phương trình bậc nhất hai ẩn

– Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm

– Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy bởi đường thẳng ax + by = c, ký hiệu là (d).

– Các trường hợp khác nhau:

Xem thêm: [Toán 9] Công thức diện tích xung quanh hình nón chuẩn SGK

Các dạng toán thường gặp và bài giải phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong Đại Số 9, phương trình bậc nhất hai ẩn là một dạng quan trọng hay được ra trong các bài kiểm tra, các bạn học sinh lưu ý các dạng sau để luyện tập chuyên sâu hơn.

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương pháp:

Nếu cặp số thực (x0;y0) thỏa mãn ax + by = c thì nó được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.

Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ.

Phương pháp:

Xét phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c

1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát.
2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ (d) có phương trình ax + by = c.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này:

• Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì (d): ax + by = c có dạng d: x = c/a. Khi đó (d) song song hoặc trùng Oy.

• Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì (d): ax + by = c có dạng d: y = c/b. Khi đó (d) song song hoặc trùng Ox.

• (d): ax + by = c đi qua điểm M(x0 ;y0) khi và chỉ khi a/x0 + b/y0 = c.

Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c, ta có:

Cách 1:

1-Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn.

2-Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x) theo ẩn kia.

3-Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x.

4-Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên t, ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t.

Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các phần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.

Cách 2:

Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên (x0 ;y0) của phương trình.

Bước 2. Đưa phương trình về dạng a(x-x0) + b(y-y0) = 0, từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.

Bài tập và cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Tìm hai nghiệm của phương trình x – 4y = 1.

=> Lần lượt cho y = 0 và y = 1, ta được x = 1 và x = 5 nên (1;0) và (5;1) là hai nghiệm của phương trình x – 4y = 1.

Bài 2: Cặp số (2;3) có phải là nghiệm của phương trình 2x – y = 2 không?

=> Ta có 2.2 – 3 = 1 2 nên (2;3) không là nghiệm của phương trình 2x – y = 2.

Bài 3: Cho hai cặp số (1;2) và (0;1). Hỏi cặp số nào là nghiệm của phương trình 2x + 3y = 8?

=> Ta có 2.1 + 3.2 = 8 và 2.0 + 3.1 = 3 ≠ 8 nên (1;2) là nghiệm của phương trình 2x + 3y = 8.

Tổng kết

Trên đây là bài viết hệ thống lại các kiến thức cơ bản về phương trình bậc nhất hai ẩn cùng cách giải các bài tập minh họa, mong rằng nó sẽ giúp ích cho các bạn trong lớp và kỳ thi sắp tới. Công Thức Toán Lý Hóa chúc các bạn học tập tốt và giành được kết quả cao.