[Toán 12] Tích phân – Ôn tập phương pháp tính tích phân dễ nhớ

Kế tiếp kiến thức Nguyên hàm là phần Tích phân cũng không kém phần quan trọng. Hôm nay chúng ta sẽ cùng học về nội dung mới này cũng các phương pháp làm bài tập hiệu quả!

Bạn đang xem bài viết: Tích phân

Tích phân là gì

Định nghĩa

Cho hàm f(x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b. Ta có kí hiệu tích phân như sau

Trong đó:

• ∫ là “tích phân”
• dx gọi là biến của tích phân
• f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân.

Xem thêm Kiến thức: [Toán 12]Nguyên hàm – Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm hiệu quả

Tính chất

Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K và a, b, c là ba số thuộc K, ta có các tính chất như sau:

Một số phương pháp tính tích phân phổ biến

Tương tự như nguyên hàm, trong chương trình Đại số lớp 12, chúng ta được làm quên với các phương pháp sau đây

Biến đổi về Tổng – Hiệu 

Với phương pháp biến đổi về Tổng – Hiệu, chúng ta sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi các biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng (hiệu) của các hạng tử.

Để biến đổi, ta sử dụng 3 tính chất sau:

Phương pháp đổi biến số

Ta có công thức đổi biến số 

 Trong đó f(x) là hàm số liên tục và u(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên J; a, b ∈ J

Các phương pháp đổi biến số thường gặp: 

• Cách 1: Đặt u = u(x) (u là một hàm theo x)
• Cách 2: Đặt x = x(t) ( x là một hàm theo t)

Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lý: Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a,b là hai số thuộc K thì 

Phương pháp vi phân

Vi phân của hàm số y = f(x) được ký hiệu dy và cho bởi

dy = d(x) = y’dx = f'(x)dx

Ta có thể ghi nhớ một số công thức vi phần quan trọng cần phải nhớ như:

Bài tập luyện tập

Bài 1: Áp dụng công thức phía trên, tính các tích phân sau:

Bài 2: Vận dụng phương pháp tính tích phân từng phần, tính:

Bài 3: Áp dụng phương pháp đổi biến số tính:

Ứng dụng của tích phần trong hình học

Ứng dụng tính diện tích hình phẳng

• Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là

Ứng dụng tích thể tích vật thể

Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a, b là

Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông gốc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x ∈ [a;b] và S(x) là một hàm liên tục.

Ứng dụng tính thể tích khối tròn xoay

Hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích được tính bởi công thức

Tổng kết

Như vậy, nội dung bài Tích phân hôm nay đã được congthuctoanlyhoa.com giải đáp cụ thể. Để sử dụng nhuần nhuyễn các phương pháp kể trên, các bạn hãy ghi chép và luyện tập thật nhiều để đạt điểm cao trong các bài kiểm tra nhé! Hẹn gặp lại các bạn ở những bài viết sau!