[Toán 12] Nguyên hàm – Áp dụng phương pháp nguyên hàm hiệu quả

Nguyên hàm là phần kiến thức khá khó nếu không có sự tổng hợp kiến thức và phương pháp làm bài hiệu quả. Hãy cùng xem nguyên hàm là gì và các phương pháp của nó có gì đặc biệt nhé!

Bạn đnag xem bài viết: Nguyên hàm

Nguyên hàm là gì

Định nghĩa

• Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R).
• Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Định lý

Ta có 2 định lý cơ bản sau đây:

Định lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Định lý 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số. Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C

Xem thêm Kiến thức: [Toán 12] Tích phân – Ôn tập phương pháp tính tích phân dễ nhớ

Tính chất 

Ta có 3 tính chất phổ biến sau đây:

Tính chất 1:

(∫f(x)dx)′= f(x) và ∫f′(x)dx = f(x) + C

Tính chất 2:

∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với k là hằng số khác 0

Tính chất 3:

∫[f(x) ± g(x)]dx=∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Bảng tổng hợp các công thức nguyên hàm thường gặp

Các phương pháp tính nguyên hàm

Ở nội dung này trong chương trình Đại số lớp 12, ta có các phương pháp sau đây:

Tính nguyên hàm bằng bằng bảng nguyên hàm

Ta có các lưu ý sau đây:

• Tích của đa thức hoặc lũy thừa => khai triển.
• Tích các hàm mũ => khai triển theo công thức mũ.
• Chứa căn => chuyển về lũy thừa.
• Tích lượng giác bậc một của sin và cosin => khai triển theo công thức tích thành tổng.
• Bậc chẵn của sin và cosin => hạ bậc.

Tính nguyên hàm của số hữu tỷ

Nếu bậc của tử số P(x) ≥ bậc của mẫu số Q(x) => chia đa thức

Nếu bậc của tử số P(x) < bậc của mẫu số Q(x) => xem xét mẫu số và khi đó:

+Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số.

+ Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số => biến đổi và đưa về dạng lượng giác.

Phương pháp biến đổi

Định lý 1: Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau:

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm và liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là ∫f(u)du = F(u) + C thì ∫f(u(x)]dx = F[u(x)] + C.

Hệ quả: Với u = ax + b (a ≠ 0), ta có: 

∫f(ax + b)dx = 1/aF(ax + b) + C

Phương pháp tính từng phần

Định lý 2: 

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) – ∫u'(x)v(x)dx

Ta có một số dạng thường gặp như: 

Dạng 1: 

∫P(x).e^ax+b dx, ∫P(x)sin(ax + b)dx, ∫P(x)cos(ax + b)dx

Phương pháp giải:

Đặt u = P(x), dv = e^ax+bdx hoặc dv = sin(ax+b)dx, dv = cos(ax + b)dx

Dạng 2: 

∫P(x)ln(ax + b)dx

Phương pháp giải: Đặt u = ln(ax + b), dv = P(x)dx

Lưu ý:

+Bậc đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm

+Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.

+Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv = phần còn lại. Nghĩa là nếu có In hay log thì chọn u = ln hay u = log và dv = còn lại. Nếu không có ln, log thì ta chọn u = đa thức và dv = còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác.

Luyện tập

Bài 1: Áp dụng công thức tính:

Bài 2: ​Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính:

Tổng kết

Như vậy, chúng ta đã cùng nhau điểm qua các phần lý thuyết quan trọng và bài tập của Nguyên hàm. Công Thức Toán Lý Hóa hy vọng bạn đọc đã hiểu hơn về nội dung quan trọng này. Chúc các bạn sẽ học tập thật tốt và hiệu quả!