[Toán 11] Đạo hàm là gì? Tổng hợp kiến thức đạo hàm

Đạo hàm là một kiến thức mới ở chương trình Đại số lớp 11. Hôm nay chúng ta cùng tìm hiểu và thực hành các bài tập để củng cố thêm phần kiến thức này nhé!

Bạn đang xem bài viết: Đạo hàm

Mục Lục

Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm là gì

Trong giải tích toán học, đạo hàm của một hàm số là một đại lượng mô tả sự biến thiên của hàm tại một điểm nào đó.

Lưu ý

Nếu kí hiệu ∆x = x – x₀; ∆y = f(x₀ + ∆x) – f(x₀) thì:

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ thì liên tục tại điểm đó.
Cách chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm x₀:

Xem thêm: [Toán 12]Nguyên hàm – Áp dụng phương pháp nguyên hàm hiệu quả

Ý nghĩa đạo hàm

a. Ý nghĩa hình học

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C):

f’(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại M₀(x₀;y₀) ∈ (C)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M₀(x₀;y₀) ∈ (C) là:

y = f'(x₀). (x-x₀) + y₀

Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M₀(x₀;y₀) ∈ (C) như sau:

Khi biết trước hệ số k, ta cũng có thể viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y = f(x) với các bước sau:

Bước 1: Gọi M₀(x₀;y₀) ∈ (C) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C).
Bước 2: Tính

Bước 3: Giải phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k là:

y = kx(x – x₀) + y₀

b. Ý nghĩa vật lý

Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s = s(t) tại thời điểm t₀là

v(t₀) = s’(t₀).

Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t₀ là: I(t₀) = Q'(t₀).

Quy tắc tính đạo hàm

Đạo hàm là một phương pháp khá khó để áp dụng đối với các hàm số phúc tạp. Để làm các bài tập về đạo hàm trong chương trình Đại số lớp 11, chúng ta cần nắm rõ các quy tắc đạo hàm sau đây.

Đạo hàm của một số hàm thường gặp

Định lý 1: Hàm số y = xⁿ( n ∈ N) có đạo hàm với mọi x ∈ R và:

(xⁿ)’ = nx^n-1

Vậy ta rút ra được nhận xét:

(c)’ = 0 ( với c là hằng số)
(x)’ = 1

Định lý 2: Hàm số y = √x có đạo hàm với mọi x dương và: (√x )’ = 1/2√x

Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Định lý 3: Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

Ta có phần mở rộng cần chú ý như sau:

(u₁ + u₂ + … + u_n)’ = u₁’ + u₂’ + … + u_n’)

Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: (ku)’ = ku’

Hệ quả 2:

(u. v. w)’ = u’ .v. w + u. v’. w + u. v. w’

Đạo hàm với hàm hợp

Định lý: Cho hàm số y = f(u) với u = u(x) thì ta có y’_u = y’_u.u’_x

Hệ quả:

Như vậy rút gọn lại ta có quy tính đạo hàm và bảng đạo hàm như sau:

Đạo hàm của hàm số lượng giác

Đạo hàm của hàm số y = sinx

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi x ∈ R và (sinx)’ = cos x

Nếu y = sinu và u = u(x) thì (sin u)’ = u’. cos u

Đạo hàm của hàm số y = cos x

Hàm số y = cos x có đạo hàm tại mọi x ∈ R và (cos x)’ = – sin x

Nếu y = cos u và u = u(x) thì (cos u)’ = -u’. sin u

Đạo hàm của hàm số y= tan x

Đạo hàm của hàm số y = cot x

Đạo hàm cấp hai

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x ∈ (a;b)

Khi đó y’ = f'(x) xác định một hàm số trên (a;b)

Nếu hàm số y’ = f'(x) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x

Kí hiệu đạo hàm cấp hai: y” hoặc f”(x)

Từ đó ta cũng có đạo hàm cấp n như sau

Về ý nghĩa cơ học, đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động

S = f(t) tại thời điểm t

Bài tập thực hành

Bài 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm các số sau:

Bài 2:

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Bài 4: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

Tổng kết

Bài viết vừa rồi cũng đã kết thúc phần Tổng hợp kiến thức đạo hàm của Công thức Toán lý hóa. Mong rằng nội dung hôm nay sẽ giúp ích được cho các bạn trong chương trình Đại số lớp 11. Hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết sau!